Otwórz menu główne

Słaba topologia – alternatywna (w stosunku do wyjściowej) topologia na danej przestrzeni liniowo-topologicznej, będąca uogólnieniem idei zbieżności po współrzędnych (w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych słaba topologia pokrywa się z wyjściową topologią).

Słaba topologia to najmniejsza topologia na przestrzeni liniowo-topologicznej, zwykle lokalnie wypukłej, w której wszystkie funkcjonały liniowe są ciągłe (w sensie mocnej topologii) – innymi słowy dla przestrzeni liniowo-topologicznej o nietrywialnej przestrzeni sprzężonej (topologicznie) jest to topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

jeśli jest (mocną) topologią w to słabą topologię oznacza się zwykle symbolem Innym sposobem wprowadzenia tej topologii jest podanie bazy otoczeń zera.

Przykład: rozpatrzmy nieskończony ciąg elementów przestrzeni , w którym kolejne elementy mają na -tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera. Ciąg ten jest słabo zbieżny do Natomiast względem normy dany ciąg jest rozbieżny (mimo bycia ograniczonym). Dlatego zbiór jest domknięty w silnej topologii, ale nie w słabej topologii. Z kolei zbiór jest domknięty w obu topologiach, ale zwarty tylko w słabej topologii.

Z kolei mocna zbieżność zawsze pociąga słabą. Słaba topologia zwiększa rodzinę zbiorów zwartych i zmniejsza rodzinę zbiorów domkniętych (mówi się wtedy o słabej zwartości czy słabej domkniętości). Para topologii mocnej i słabej wspólnie stanowi ważne narzędzie analizy funkcjonalnej.

WłasnościEdytuj

Niech   będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniową oraz niech   będzie niepustą rodziną funkcjonałów liniowych przestrzeni   taką, że dla każdego niezerowego   istnieje   taki, że   Wówczas

  •   jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą,
  • rodzina   jest zawarta w przestrzeni sprzężonej   ponadto jeśli   sama jest przestrzenią liniową, to  
  • podzbiór   przestrzeni   jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego   istnieje   że dla każdego    
  • ciąg punktów   przestrzeni   jest zbieżny do punktu   tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy   dla każdego  
  • Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest nieskończenie wymiarowa, to każde jej słabe otoczenie zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową. Ponadto, przestrzeń ta nie jest lokalnie ograniczona.
  • Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest lokalnie wypukła, to domknięcie zbioru wypukłego w wyjściowej topologii pokrywa się z domknięciem tego zbioru w sensie słabej topologii.
  • Twierdzenie Mazura: Niech   będzie metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą. Jeżeli punkt   jest słabą granicą ciągu   punktów tej przestrzeni, to jest (mocną) granicą pewnego ciągu punktów otoczki wypukłej zbioru  

Topologia *-słabaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem   liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Dla każdego   można określić funkcjonał   dany wzorem

 

Dla każdego   funkcjonał   jest liniowy ponadto dla każdego   istnieje   taki, że

 

Topologię   wprowadzoną w zbiorze   przez rodzinę   nazywamy topologią *-słabą i oznaczamy symbolem  

Przestrzeń   jest lokalnie wypukła, a rodzina

 

jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

  • Jeżeli   jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każde *-słabe otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
  • Jeżeli   jest przestrzenią unormowaną oraz   oznacza topologię wyznaczoną normę w przestrzeni   to   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest przestrzenią refleksywną.

BibliografiaEdytuj