Holomorficzność nieskończeniewymiarowa

Holomorficzność nieskończeniewymiarowa – dział analizy funkcjonalnej, gałęzi matematyki badający uogólnienia funkcji holomorficznych na funkcje określone na zespolonych przestrzeniach Banacha (lub ogólniej: przestrzeniach Frécheta), najczęściej nieskończonego wymiaru, i przyjmujące w nich wartości. Można uważać ją za część nieliniowej analizy funkcjonalnej.

Funkcje holomorficzne o wartościach wektorowych na płaszczyźnie zespolonejEdytuj

Pierwszym krokiem w rozszerzaniu teorii funkcji holomorficznych na więcej niż jeden wymiar zespolony jest rozważanie tzw. funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych, które nadal są określone na płaszczyźnie zespolonej   lecz przyjmują wartości w przestrzeniach Banacha. Tego rodzaju funkcje są istotne na przykład podczas budowania holomorficznej analizy funkcjonalnej (ang. holomorphic functional calculus) dla ograniczonych operatorów liniowych.

Funkcję   określoną na podzbiorze otwartym   płaszczyzny zespolonej o wartościach w zespolonej przestrzeni Banacha   nazywa się holomorficzną, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym, tzn. dla każdego punktu   istnieje granica

 

Całkę krzywoliniową funkcji holomorficznej   o wartościach wektorowych wzdłuż krzywej prostowalnej   można zdefiniować w dokładnie ten sam sposób, co dla funkcji holomorficznych o wartościach zespolonych – jako granicę sum postaci

 

gdzie   jest podziałem przedziału   przy długościach podziałów dążących do zera.

Sprawdza się, że twierdzenie podstawowe Cauchy’ego zachodzi również dla funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych. Istotnie, jeżeli   jest taką funkcją i   jest ograniczonym operatorem liniowym, to można wykazać, iż

 

Więcej, złożenie funkcji   jest funkcją holomorficzną o wartościach zespolonych, stąd dla krzywej zwykłej zamkniętej, której wnętrze zawiera się w   całka po prawej stronie jest równa zeru z klasycznego twierdzenia podstawowego Cauchy’ego. Zatem, ponieważ   jest dowolny, to z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że

 

co kończy dowód twierdzenia podstawowego Cauchy’ego w przypadku funkcji o wartościach wektorowych.

Za pomocą tego silnego narzędzia można dowieść wzoru całkowego Cauchy’ego oraz tego, tak jak w przypadku klasycznym, że każda funkcja holomorficzna o wartościach wektorowych jest analityczna.

Użytecznym kryterium na holomorficzność funkcji   jest, że   jest funkcją holomorficzną o wartościach wektorowych dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego   Taka funkcja   jest słabo holomorficzna. Można wykazać, że funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej o wartościach w przestrzeni Frécheta jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy jest słabo holomorficzna.

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami BanachaEdytuj

Ogólniej, dla danych dwóch przestrzeni Banacha   i   nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego   w   funkcję   nazywa się holomorficzną, jeżeli w każdym punkcie   istnieje pochodna Frécheta funkcji   W tym ogólniejszym kontekście również można pokazać, że funkcja holomorficzna także jest analityczna, tzn. może być lokalnie rozwinięta w szereg potęgowy. Nie jest jednak już prawdą, że jeżeli funkcja jest określona i holomorficzna w pewnej kuli, to szereg potęgowy wokół środka tej kuli jest zbieżny w całej kuli; np. istnieją funkcje holomorficzne określone na całej przestrzeni o skończonym promieniu zbieżności[1].

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami liniowo-topologicznymiEdytuj

W pełnej ogólności, dla danych dwóch przestrzeni liniowo-topologicznych   i   nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego   w   istnieje wiele sposobów definiowania holomorficzności funkcji   W przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego, gdy   oraz   są nieskończonego wymiaru, własności funkcji holomorficznych mogą zależeć od wybranej definicji. Aby ograniczyć liczbę rozważanych przypadków omówiona zostanie holomorficzność w przypadku, gdy   i  lokalnie wypukłe.

Sekcja ta przedstawia listę definicji pojęcia od najsłabszego do najsilniejszego. Kończy się ona dyskusją na temat niektórych twierdzeń wiążących wspomniane definicje, gdy przestrzenie   i   spełniają pewne dodatkowe warunki.

Holomorficzność w sensie GâteauxEdytuj

Holomorficzność Gâteaux jest bezpośrednim uogólnieniem słabej holomorficzności na w pełni nieskończeniewymiarowy przypadek.

Niech   i   będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi, a   będzie zbiorem otwartym. Funkcja   jest holomorficzna w sensie Gâteaux, jeżeli dla dowolnych   oraz   i każdego ciągłego funkcjonału liniowego   określonego na   funkcja

 

jest funkcją holomorficzną zmiennej   w otoczeniu   Zbiór funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux oznacza się symbolem  

W analizie funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux wszystkie własności skończeniewymiarowych funkcji holomorficznych są spełnione na podprzestrzeniach   skończonego wymiaru. Jednak, tak jak w zwykłej analizie funkcjonalnej, własności te mogą nie składać się w sposób jednorodny w całość, by dać jakiekolwiek odpowiadające im własności tych funkcji na pełnych zbiorach otwartych.

Przykłady
  • Jeżeli   jest określona na   to ma ona pochodne Gâteaux wszystkich rzędów, ponieważ dla   oraz   pochodna Gâteaux  -tego rzędu   zawiera wyłącznie iterowane pochodne kierunkowe w kierunkach otoczki   która jest przestrzenią skończenie wymiarową. W tym przypadku iterowane pochodne Gâteaux są wieloliniowe względem   ale w ogólności nie są one liniowe, gdy rozważa się je jako określone na całej przestrzeni  
  • Więcej, obowiązuje wersja twierdzenia Taylora:
     
Symbol   oznacza wielomian jednorodny stopnia   zmiennej   związanej z operatorem wieloliniowym   Zbieżność tego szeregu nie jest jednostajna: jeżeli   jest ustaloną podprzestrzenią skończonego wymiaru, to szereg zbiega jednostajnie na dowolnie małych otoczeniach   jednak jeżeli   może być zmienna, to nie ma zbieżności – nie będzie jej w ogólności, o ile zezwoli się na tę zależność. Stoi to w całkowitej sprzeczności z przypadkiem skończeniewymiarowym.
  • dla funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux zachodzi twierdzenie Hartoga w następującym sensie:
Jeżeli   jest funkcją, która jest holomorficzna w sensie Gâteaux oddzielnie ze względu na każdy z jej argumentów, to wtedy   jest holomorficzna w sensie Gâteaux na przestrzeni produktowej.

HipoanalitycznośćEdytuj

Funkcja   jest hipoanalityczna (ang. hypoanalytic), jeżeli   oraz   jest ciągła na warunkowo zwartych podzbiorach  

HolomorficznośćEdytuj

Funkcja   jest holomorficzna, jeżeli dla każdego   rozwinięcie w szereg Taylora

 

(którego istnienie wynika już z holomorficzności w sensie Gâteaux) jest zbieżne i ciągłe względem   w otoczeniu   Holomorficzność łączy więc pojęcia słabej holomorficzności ze zbieżnością rozwinięcia w szereg potęgowy. Zbiór funkcji holomorficznych oznacza się symbolem  

Holomorficzność lokalnie ograniczonaEdytuj

O funkcji   mówi się, że jest lokalnie ograniczona, jeżeli każdy punkt   ma otoczenie, którego obraz względem   jest ograniczony w   Jeżeli   jest dodatkowo holomorficzna w sensie Gâteaux na   to   jest lokalnie ograniczenie holomorficzna (ang. locally bounded holomorphic), co oznacza się  

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Richard V. Kadison, John R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. 1: Elementary theory. American Mathematical Society, 1997. ​ISBN 0-8218-0819-2​. (zob. rozdział 3.3.)
  • Soo Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces, Marcel Dekker, 1985. ​ISBN 0-8247-7231-8​.