Twierdzenie Greena

Ten artykuł dotyczy twierdzenia w analizie matematycznej. Zobacz też: twierdzenie w teorii półgrup.

Twierdzenie Greenatwierdzenie analizy matematycznej wiążące pewne całki krzywoliniowe – konkretniej całki okrężne na płaszczyźnie – z całkami podwójnymi. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa, które już nie zawiera warunku płaskości krzywej. Zostało sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George’a Greena.

Niech będzie obszarem normalnym, takim że oraz wtedy brzeg możemy podzielić na krzywe gładkie co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Treść twierdzeniaEdytuj

Jeżeli funkcje   i   są klasy   wewnątrz obszaru regularnego   krzywa regularna   jest brzegiem obszaru   i jest zorientowana dodatnio, to:

 

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa   jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

 

DowódEdytuj

Niech   będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc  

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych  

 
 
 
 

Wówczas   dla     dla   oraz   dla  

Tak więc dla składowej   pola wektorowego otrzymujemy:

 

zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik  

 

Stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

 

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej  

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.