Twierdzenie Greena

Ten artykuł dotyczy twierdzenia w analizie matematycznej. Zobacz też: twierdzenie w teorii półgrup.

Twierdzenie Greenatwierdzenie matematyczne sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George’a Greena. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa.

Niech będzie obszarem normalnym, takim że oraz wtedy brzeg możemy podzielić na krzywe gładkie co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Treść twierdzeniaEdytuj

Jeżeli funkcje   i   są klasy   wewnątrz obszaru regularnego   krzywa regularna   jest brzegiem obszaru   i jest zorientowana dodatnio, to:

 

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa   jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

 

DowódEdytuj

Niech   będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc  

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych  

 
 
 
 

Wówczas   dla     dla   oraz   dla  

Tak więc dla składowej   pola wektorowego otrzymujemy:

 

zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik  

 

Stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

 

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej  

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.