Relacje Greena – pięć relacji równoważności definiowanych na dowolnej półgrupie , związanych z pojęciem ideału głównego . Relacje te oznaczane są symbolami L , R , D , J {\displaystyle {\mathcal {L,\,R,\,D,\,J}}} H . {\displaystyle {\mathcal {H}}.} L , R {\displaystyle {\mathcal {L,\,R}}} J {\displaystyle {\mathcal {J}}} H {\displaystyle {\mathcal {H}}} L {\displaystyle {\mathcal {L}}} R . {\displaystyle {\mathcal {R}}.} D {\displaystyle {\mathcal {D}}} złożenie tych relacji. Relacje te zostały wprowadzone przez Jamesa A. Greena w 1951 roku.
Niech S {\displaystyle S} a , b ∈ S . {\displaystyle a,\,b\in {S}.} S 1 = S ∪ { 1 } {\displaystyle S^{1}=S\cup \{1\}} S {\displaystyle S}
Wtedy
a L b ⟺ S 1 a = S 1 b {\displaystyle a{\mathcal {L}}b\iff S^{1}a=S^{1}b} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} a R b ⟺ a S 1 = b S 1 {\displaystyle a{\mathcal {R}}b\iff aS^{1}=bS^{1}} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} D = L ∘ R = R ∘ L {\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {L}}\circ {\mathcal {R}}={\mathcal {R}}\circ {\mathcal {L}}} [1] D {\displaystyle {\mathcal {D}}} złożeniem relacji L {\displaystyle {\mathcal {L}}} R {\displaystyle {\mathcal {R}}} a J b ⟺ S 1 a S 1 = S 1 b S 1 {\displaystyle a{\mathcal {J}}b\iff S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} H = L ∩ R . {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}\cap {\mathcal {R}}.} Okazuje się, że wszystkie z tych relacji są relacjami równoważności. (Jest to natychmiastowe w przypadku L , R , J {\displaystyle {\mathcal {L}},\,{\mathcal {R}},\,{\mathcal {J}}} H . {\displaystyle {\mathcal {H}}.} D {\displaystyle {\mathcal {D}}} Bibliografia ).
Niech a ∈ S {\displaystyle a\in S} S {\displaystyle S}
L a = { x ∈ S | x L a } {\displaystyle \mathrm {L} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {L}}a\right\}} a {\displaystyle a} L {\displaystyle {\mathcal {L}}} i analogicznie:
R a = { x ∈ S | x R a } , {\displaystyle \mathrm {R} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {R}}a\right\},} D a = { x ∈ S | x D a } , {\displaystyle \mathrm {D} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {D}}a\right\},} J a = { x ∈ S | x J a } {\displaystyle \mathrm {J} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {J}}a\right\}} H a = { x ∈ S | x H a } {\displaystyle \mathrm {H} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {H}}a\right\}} są klasami abstracji elementu a {\displaystyle a} R , D , J {\displaystyle {\mathcal {R}},\,{\mathcal {D}},\,{\mathcal {J}}} H . {\displaystyle {\mathcal {H}}.}
W dowolnej grupie G {\displaystyle G} H = L = R = D = J = G × G . {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}={\mathcal {R}}={\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=G\times G.}
W nieskończonej półgrupie cyklicznej ( N , + ) {\displaystyle \left(\mathbb {N} ,+\right)} H = L = R = D = J = { ( x , x ) | x ∈ N } , {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}={\mathcal {R}}={\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=\left\{(x,x)|\,x\in \mathbb {N} \right\},}
Ten sam wzór jest prawdziwy dla półgrupy ( N , ⋅ ) , {\displaystyle \left(\mathbb {N} ,\cdot \right),}
W pełnej półgrupie transformacji zbioru X {\displaystyle X} T X {\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}} L = { ( α , β ) ∈ T X × T X | X α = X β } , {\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{(\alpha ,\beta )\in {\mathcal {T}}_{X}\times {\mathcal {T}}_{X}|\,X\alpha =X\beta \right\},} [2] R = { ( α , β ) ∈ T X × T X | π α = π β } , {\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{(\alpha ,\beta )\in {\mathcal {T}}_{X}\times {\mathcal {T}}_{X}|\,\pi _{\alpha }=\pi _{\beta }\right\},} π ϕ {\displaystyle \pi _{\phi }} jądro ϕ {\displaystyle \phi } ϕ ∈ T X , {\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}_{X},} D = J = { ( α , β ) ∈ T X × T X | | X α | = | X β | } . {\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=\left\{(\alpha ,\beta )\in {\mathcal {T}}_{X}\times {\mathcal {T}}_{X}|\,|X\alpha |=|X\beta |\right\}.}
Analogiczne wzory zachodzą dla półgrupy transformacji liniowych przestrzeni V {\displaystyle V} L T ( V ) . {\displaystyle {\mathcal {LT}}(V).} L = { ( A , B ) ∈ L T ( V ) × L T ( V ) | V A = V B } , {\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{(A,B)\in {\mathcal {LT}}(V)\times {\mathcal {LT}}(V)|\,VA=VB\right\},} R = { ( A , B ) ∈ L T ( V ) × L T ( V ) | ker A = ker B } , {\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{(A,B)\in {\mathcal {LT}}(V)\times {\mathcal {LT}}(V)|\,\ker A=\ker B\right\},} D = J = { ( A , B ) ∈ L T ( V ) × L T ( V ) | dim V A = dim V B } . {\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=\left\{(A,B)\in {\mathcal {LT}}(V)\times {\mathcal {LT}}(V)|\dim VA=\dim VB\right\}.} Częściowe porządki na zbiorach klas
edytuj
Dla dowolnej półgrupy S {\displaystyle S} porządki na S / L , S / R {\displaystyle S/{\mathcal {L}},\,S/{\mathcal {R}}} S / J {\displaystyle S/{\mathcal {J}}}
L a ⩽ L b ⟺ S 1 a ⊆ S 1 b , {\displaystyle \mathrm {L} _{a}\leqslant \mathrm {L} _{b}\iff S^{1}a\subseteq S^{1}b,} R a ⩽ R b ⟺ a S 1 ⊆ b S 1 {\displaystyle \mathrm {R} _{a}\leqslant \mathrm {R} _{b}\iff aS^{1}\subseteq bS^{1}} oraz
J a ⩽ J b ⟺ S 1 a S 1 ⊆ S 1 b S 1 . {\displaystyle \mathrm {J} _{a}\leqslant \mathrm {J} _{b}\iff S^{1}aS^{1}\subseteq S^{1}bS^{1}.} Okazuje się, że zdefiniowane w ten sposób relacje są relacjami porządku.
Jeżeli S / L , S / R {\displaystyle S/{\mathcal {L}},\,S/{\mathcal {R}}} S / J {\displaystyle S/{\mathcal {J}}}
każdy niepusty podzbiór zawiera element minimalny , to mówimy, że S {\displaystyle S} min L , min R {\displaystyle {\min }_{\mathrm {L} },\,{\min }_{\mathrm {R} }} min J . {\displaystyle {\min }_{\mathrm {J} }.} min L , {\displaystyle {\min }_{\mathrm {L} },} min R , {\displaystyle {\min }_{\mathrm {R} },} D = J . {\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {J}}.}
Dla każdej półgrupy zachodzą następujące zawierania:
H ⊆ L ⊆ D , {\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {D}},} H ⊆ R ⊆ D , {\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {D}},} D ⊆ J . {\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {J}}.} W pewnych szczególnych klasach półgrup zachodzi D = J , {\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {J}},}
Lemat i twierdzenie Greena
edytuj
Następujący fakt został pokazany przez A.J. Greena i znany jest jako lemat Greena .
Niech a , b ∈ S {\displaystyle a,b\in S} a R b . {\displaystyle a{\mathcal {R}}b.} s , s ′ ∈ S 1 {\displaystyle s,s'\in S^{1}} a s = b , b s ′ = a {\displaystyle as=b,\,bs'=a} a R b {\displaystyle a{\mathcal {R}}b} x → x s {\displaystyle x\to xs} x ∈ L a {\displaystyle x\in \mathrm {L} _{a}} y → y s ′ {\displaystyle y\to ys'} y ∈ L b {\displaystyle y\in \mathrm {L} _{b}} odwrotnymi bijekcjami odpowiednio z L a {\displaystyle \mathrm {L} _{a}} L b {\displaystyle \mathrm {L} _{b}} L b {\displaystyle \mathrm {L} _{b}} L a . {\displaystyle \mathrm {L} _{a}.} R {\displaystyle {\mathcal {R}}}
Natychmiastowym wnioskiem z lematu Greena jest, że wszystkie L {\displaystyle {\mathcal {L}}} R {\displaystyle {\mathcal {R}}} H {\displaystyle {\mathcal {H}}} D {\displaystyle {\mathcal {D}}}
Wnioskiem z lematu Greena jest też następujące twierdzenie Greena .
Jeżeli H ∈ S / H {\displaystyle \mathrm {H} \in S/{\mathcal {H}}} H {\displaystyle {\mathcal {H}}}
Albo H 2 ∩ H = ∅ {\displaystyle \mathrm {H} ^{2}\cap \mathrm {H} =\emptyset } H {\displaystyle \mathrm {H} } H {\displaystyle \mathrm {H} }
albo H 2 = H {\displaystyle \mathrm {H} ^{2}=\mathrm {H} } H {\displaystyle \mathrm {H} }
↑ Ten napis jest poprawny, ponieważ relacje L {\displaystyle {\mathcal {L}}} R {\displaystyle {\mathcal {R}}}
↑ Używana jest standardowa w teorii półgrup notacja, w której argumenty funkcji zapisywane są po lewej stronie symbolu funkcji.
Bibliografia
edytuj
[1] Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups , Volume 1, 1961, American Mathematical Society.
[2] Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press. 
