Relacje Greena

Relacje Greena – pięć relacji równoważności definiowanych na dowolnej półgrupie, związanych z pojęciem ideału głównego. Relacje te oznaczane są symbolami ${\mathcal {L,\,R,\,D,\,J}}$ i ${\mathcal {H}}.$ Relacje ${\mathcal {L,\,R}}$ i ${\mathcal {J}}$ to relacje generowania tego samego ideału, odpowiednio lewo-, prawo- i obustronnego. Relacja ${\mathcal {H}}$ jest przecięciem ${\mathcal {L}}$ i ${\mathcal {R}}.$ Relacja ${\mathcal {D}}$ to złożenie tych relacji. Relacje te zostały wprowadzone przez Jamesa A. Greena w 1951 roku.

Definicja

Niech $S$ będzie półgrupą i $a,\,b\in {S}.$ Przez $S^{1}=S\cup \{1\}$ oznaczamy półgrupę $S$ z jedynką dołączoną, jeśli jej wcześniej nie było.

Wtedy

• $a{\mathcal {L}}b\iff S^{1}a=S^{1}b$ ($a$ i $b$ generują ten sam lewostronny ideał główny);
• $a{\mathcal {R}}b\iff aS^{1}=bS^{1}$ ($a$ i $b$ generują ten sam prawostronny ideał główny);
• ${\mathcal {D}}={\mathcal {L}}\circ {\mathcal {R}}={\mathcal {R}}\circ {\mathcal {L}}$ (relacja ${\mathcal {D}}$ jest złożeniem relacji ${\mathcal {L}}$ i ${\mathcal {R}}$);
• $a{\mathcal {J}}b\iff S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}$ ($a$ i $b$ generują ten sam obustronny ideał główny);
• ${\mathcal {H}}={\mathcal {L}}\cap {\mathcal {R}}.$

Okazuje się, że wszystkie z tych relacji są relacjami równoważności. (Jest to natychmiastowe w przypadku ${\mathcal {L}},\,{\mathcal {R}},\,{\mathcal {J}}$ i ${\mathcal {H}}.$ Przypadek ${\mathcal {D}}$ jest nieco trudniejszy i dowód można znaleźć na przykład w [2] – zob. sekcję Bibliografia).

Oznaczenia

Niech $a\in S$ i $S$ niech będzie półgrupą. Wtedy oznaczamy:

• $\mathrm {L} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {L}}a\right\}$ jest klasą abstrakcji elementu $a$ w relacji ${\mathcal {L}}$

i analogicznie:

• $\mathrm {R} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {R}}a\right\},$
• $\mathrm {D} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {D}}a\right\},$
• $\mathrm {J} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {J}}a\right\}$ i
• $\mathrm {H} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {H}}a\right\}$

są klasami abstracji elementu $a$ odpowiednio w relacjach ${\mathcal {R}},\,{\mathcal {D}},\,{\mathcal {J}}$ i ${\mathcal {H}}.$

Przykłady

• W dowolnej grupie $G$ mamy
  • ${\mathcal {H}}={\mathcal {L}}={\mathcal {R}}={\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=G\times G.$
• W nieskończonej półgrupie cyklicznej $\left(\mathbb {N} ,+\right)$ mamy
  • ${\mathcal {H}}={\mathcal {L}}={\mathcal {R}}={\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=\left\{(x,x)|\,x\in \mathbb {N} \right\},$
• Ten sam wzór jest prawdziwy dla półgrupy $\left(\mathbb {N} ,\cdot \right),$
• W pełnej półgrupie transformacji zbioru $X$ oznaczanej symbolem ${\mathcal {T}}_{X}$ mamy
  • ${\mathcal {L}}=\left\{(\alpha ,\beta )\in {\mathcal {T}}_{X}\times {\mathcal {T}}_{X}|\,X\alpha =X\beta \right\},$
  • ${\mathcal {R}}=\left\{(\alpha ,\beta )\in {\mathcal {T}}_{X}\times {\mathcal {T}}_{X}|\,\pi _{\alpha }=\pi _{\beta }\right\},$ gdzie $\pi _{\phi }$ oznacza jądro $\phi$ dla dowolnego $\phi \in {\mathcal {T}}_{X},$
  • ${\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=\left\{(\alpha ,\beta )\in {\mathcal {T}}_{X}\times {\mathcal {T}}_{X}|\,|X\alpha |=|X\beta |\right\}.$
• Analogiczne wzory zachodzą dla półgrupy transformacji liniowych przestrzeni $V$ oznaczanej symbolem ${\mathcal {LT}}(V).$
  • ${\mathcal {L}}=\left\{(A,B)\in {\mathcal {LT}}(V)\times {\mathcal {LT}}(V)|\,VA=VB\right\},$
  • ${\mathcal {R}}=\left\{(A,B)\in {\mathcal {LT}}(V)\times {\mathcal {LT}}(V)|\,\ker A=\ker B\right\},$
  • ${\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=\left\{(A,B)\in {\mathcal {LT}}(V)\times {\mathcal {LT}}(V)|\dim VA=\dim VB\right\}.$

Częściowe porządki na zbiorach klas

Dla dowolnej półgrupy $S$ istnieją naturalne porządki na $S/{\mathcal {L}},\,S/{\mathcal {R}}$ i $S/{\mathcal {J}}$ zadane przez zawieranie ideałów odpowiadających klasom:

• $\mathrm {L} _{a}\leqslant \mathrm {L} _{b}\iff S^{1}a\subseteq S^{1}b,$
• $\mathrm {R} _{a}\leqslant \mathrm {R} _{b}\iff aS^{1}\subseteq bS^{1}$

oraz

• $\mathrm {J} _{a}\leqslant \mathrm {J} _{b}\iff S^{1}aS^{1}\subseteq S^{1}bS^{1}.$

Okazuje się, że zdefiniowane w ten sposób relacje są relacjami porządku.

Jeżeli $S/{\mathcal {L}},\,S/{\mathcal {R}}$ lub $S/{\mathcal {J}}$ spełniają następujący warunek:

każdy niepusty podzbiór zawiera element minimalny,

to mówimy, że $S$ spełnia odpowiednio ${\min }_{\mathrm {L} },\,{\min }_{\mathrm {R} }$ lub ${\min }_{\mathrm {J} }.$ Jeżeli półgrupa spełnia zarówno ${\min }_{\mathrm {L} },$ jak i ${\min }_{\mathrm {R} },$ to zachodzi równość ${\mathcal {D}}={\mathcal {J}}.$

Własności

Zawierania

Dla każdej półgrupy zachodzą następujące zawierania:

• ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {D}},$
• ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {D}},$
• ${\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {J}}.$

W pewnych szczególnych klasach półgrup zachodzi ${\mathcal {D}}={\mathcal {J}},$ jednak nie jest to prawdą w ogólności.

Lemat i twierdzenie Greena

Następujący fakt został pokazany przez A.J. Greena i znany jest jako lemat Greena.

Niech $a,b\in S$ oraz $a{\mathcal {R}}b.$ Niech $s,s'\in S^{1}$ będą takimi elementami, że $as=b,\,bs'=a$ (takie elementy istnieją, skoro $a{\mathcal {R}}b$). Wtedy odwzorowania $x\to xs$ dla $x\in \mathrm {L} _{a}$ oraz $y\to ys'$ dla $y\in \mathrm {L} _{b}$ są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami odpowiednio z $\mathrm {L} _{a}$ na $\mathrm {L} _{b}$ i z $\mathrm {L} _{b}$ na $\mathrm {L} _{a}.$ Przekształcenia te zachowują ${\mathcal {R}}$-klasy argumentów.

Natychmiastowym wnioskiem z lematu Greena jest, że wszystkie ${\mathcal {L}}$-klasy są równoliczne. Z dualnej wersji lematu Greena wynika, że wszystkie ${\mathcal {R}}$-klasy są równoliczne. Z lematu Greena można również wyprowadzić równoliczność ${\mathcal {H}}$-klas zawartych w tej samej ${\mathcal {D}}$-klasie.

Wnioskiem z lematu Greena jest też następujące twierdzenie Greena.

Jeżeli $\mathrm {H} \in S/{\mathcal {H}}$ jest ${\mathcal {H}}$-klasą, to zachodzi jedna z dwóch możliwości:

• Albo $\mathrm {H} ^{2}\cap \mathrm {H} =\emptyset$ (czyli iloczyn dowolnych dwóch elementów $\mathrm {H}$ znajduje się poza $\mathrm {H}$),
• albo $\mathrm {H} ^{2}=\mathrm {H}$ i $\mathrm {H}$ jest grupą.

Bibliografia

• [1] Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society.
• [2] Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press.