Półgrupa cykliczna

Półgrupa cykliczna (a. monogeniczna) – półgrupa mająca jednoelementowy zbiór generatorów. Innymi słowy taka półgrupa $(S,\cdot ),$ że

$S=\langle a\rangle$

dla pewnego $a\in S,$ tj. istnieje element $a\in S$ o tej własności, że dla każdego $y\in S$ istnieje taka liczba naturalna $n,$ że

$y=a^{n}.$

Moc półgrup cyklicznych

• Każda nieskończona półgrupa cykliczna jest izomorficzna z półgrupą dodatnich liczb całkowitych z mnożeniem.
• Dla każdej skończonej półgrupy cyklicznej $S=\langle a\rangle$ istnieje najmniejsza liczba naturalna $m,$ nazywana indeksem półgrupy S, o tej własności, że $a^{n}=a^{m}$ dla pewnego $n>m.$ Istnieje także najmniejsza liczba $r,$ nazywana okresem półgrupy S, dla której $a^{m}=a^{m+r}.$ Dla każdej pary liczb naturalnych ($m,$ $r$) istnieje skończona półgrupa cykliczna o indeksie $m$ i okresie $r.$

Bibliografia

• Peter M. Higgins, Techniques of semigroup theory, Oxford University Press, 1992. ISBN 978-0-19-853577-5.