Twierdzenie Goldstine’a

Twierdzenie Goldstine’a – twierdzenie mówiące, że obraz kuli jednostkowej przestrzeni unormowanej poprzez kanoniczne odwzorowanie w drugą przestrzeń sprzężoną

jest gęsty w kuli jednostkowej przestrzeni w sensie *-słabej topologii (tzn. topologii ), tj.

W szczególności, obraz samej przestrzeni poprzez odwzorowanie jest gęsty w w sensie *-słabej topologii.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Heine Goldstine’a, który udowodnił nieco mniej ogólną jego wersję w 1938 roku[1].

DowódEdytuj

Z wypukłości kuli   oraz liniowości   wynika, że obraz   jest wypukłym podzbiorem   Ponieważ   z *-słabą topologią jest przestrzenią liniowo-topologiczną, domknięcie   jest również zbiorem wypukłym. Jako zbiór *-słabo domknięty w   z twierdzenia Banacha-Alaoglu, jest on *-słabo zwarty. Gdyby zbiór ten nie był całą kulą   to istniałby funkcjonał   który nie należy do domknięcia   Z twierdzenia o oddzielaniu istniałby wówczas funkcjonał   oraz liczba   o tej własności, że

 

Z drugiej jednak strony,

 

To jednak prowadzi do sprzeczności, gdyż

 

(bo   należy do  ), ale

 [2][3].

UwagiEdytuj

W 1948 Jacques Dixmier udowodnił, że twierdzenie w pewnym sensie przeciwne w konktekście *-słabych topologii w przestrzeni sprzężonej nie jest prawdziwe. Dokładniej, istnieje przestrzeń Banacha   o tej własności, że dla pewnej podprzestrzeni   jej przestrzeni sprzężonej   która jest *-słabo gęsty i dla każdego   zbiór

 

nie jest *-słabo gęsty.   oznacza kulę w przestrzeni   o środku w zerze i promieniu  [4].

PrzypisyEdytuj

  1. H.H. Goldstine, Weakly complete Banach spaces, „Duke Math. J.”, 4 (1938), 125–131.
  2. Morrison 2001 ↓, s. 127–128.
  3. Megginson 1998 ↓, s. 232.
  4. J. Diximer, Sur un théorème de Banach. Duke Math. J. 15 (1948), s. 1057–1071.

BibliografiaEdytuj

  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.
  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.