Niech
m
{\displaystyle m}
i
n
{\displaystyle n}
będą ustalonymi liczbami naturalnymi,
p
{\displaystyle p}
będzie liczbą z przedziału
[
1
,
∞
)
{\displaystyle [1,\infty )}
oraz
Ω
{\displaystyle \Omega }
będzie otwartym podzbiorem
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Przestrzenią Sobolewa
W
m
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle W^{m,p}(\Omega )}
nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji
u
∈
L
p
(
Ω
)
,
{\displaystyle u\in L^{p}(\Omega ),}
dla których
D
α
u
∈
L
p
(
Ω
)
,
{\displaystyle D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega ),}
gdzie
α
=
(
α
1
,
…
,
α
n
)
∈
N
n
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}
jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek
|
α
|
=
α
1
+
⋯
+
α
n
⩽
m
,
{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}\leqslant m,}
oraz symbol
D
α
u
{\displaystyle D^{\alpha }u}
oznacza słabą pochodną funkcji
u
{\displaystyle u}
rzędu
α
.
{\displaystyle \alpha .}
Przestrzeń
W
m
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle W^{m,p}(\Omega )}
jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem
‖
u
‖
W
m
,
p
=
(
∑
|
α
|
⩽
m
‖
D
α
u
‖
L
p
p
)
1
p
,
{\displaystyle \|u\|_{W^{m,p}}=(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}}^{p})^{\frac {1}{p}},}
w przypadku
1
⩽
p
<
∞
{\displaystyle 1\leqslant p<\infty }
oraz:
‖
u
‖
W
m
,
p
=
∑
|
α
|
⩽
m
‖
D
α
u
‖
L
∞
{\displaystyle \|u\|_{W^{m,p}}=\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }}}
w przypadku
p
=
∞
.
{\displaystyle p=\infty .}
W
0
,
p
(
Ω
)
=
L
p
(
Ω
)
.
{\displaystyle W^{0,p}(\Omega )=L^{p}(\Omega ).}
Przestrzeń
H
m
(
Ω
)
:=
W
m
,
2
(
Ω
)
{\displaystyle H^{m}(\Omega ):=W^{m,2}(\Omega )}
jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem
⟨
u
,
v
⟩
H
m
=
∑
|
α
|
⩽
m
⟨
D
α
u
,
D
α
v
⟩
L
2
.
{\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{m}}=\sum _{|\alpha |\leqslant m}\langle D^{\alpha }u,D^{\alpha }v\rangle _{L^{2}}.}
Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Sobolewa
edytuj
Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa
W
m
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle W^{m,p}(\Omega )}
dla
1
⩽
p
<
∞
{\displaystyle 1\leqslant p<\infty }
jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na
Ω
{\displaystyle \Omega }
(podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).
Niech
N
{\displaystyle N}
oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od
m
,
{\displaystyle m,}
tzn.
N
=
∑
1
⩽
|
α
|
⩽
m
1
,
{\displaystyle N=\sum _{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\ 1,}
oraz
L
N
p
=
L
p
(
Ω
)
×
…
×
L
p
(
Ω
)
.
{\displaystyle L_{N}^{p}=L^{p}(\Omega )\times \ldots \times L^{p}(\Omega ).}
Przestrzeń
L
N
p
{\displaystyle L_{N}^{p}}
jest przestrzenią Banacha z normą
‖
(
u
1
,
…
,
u
N
)
‖
=
(
∑
j
=
1
N
(
‖
u
j
‖
L
p
)
p
)
1
p
.
{\displaystyle \|(u_{1},\dots ,u_{N})\|=\left(\sum _{j=1}^{N}(\|u_{j}\|_{L^{p}})^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}
Przestrzeń sprzężona
(
W
m
,
p
(
Ω
)
)
∗
{\displaystyle (W^{m,p}(\Omega ))^{*}}
jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji
T
{\displaystyle T}
na
Ω
,
{\displaystyle \Omega ,}
dla których
T
=
∑
1
⩽
|
α
|
⩽
m
(
−
1
)
|
α
|
D
α
T
v
α
,
{\displaystyle T=\sum _{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\ (-1)^{|\alpha |}D^{\alpha }T_{v_{\alpha }},}
dla pewnego
v
=
(
v
α
)
1
⩽
|
α
|
⩽
m
∈
L
N
q
{\displaystyle v=(v_{\alpha })_{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\in L_{N}^{q}}
oraz
q
{\displaystyle q}
jest wykładnikiem sprzężonym do
p
.
{\displaystyle p.}
Ponadto,
‖
T
‖
Y
=
inf
‖
v
‖
L
N
q
,
{\displaystyle \|T\|_{Y}=\inf \|v\|_{L_{N}^{q}},}
gdzie kres brany jest po wszystkich
v
∈
L
N
q
,
{\displaystyle v\in L_{N}^{q},}
dla których
T
{\displaystyle T}
można przedstawić w powyższej postaci.
Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni
(
W
m
,
p
(
Ω
)
)
∗
{\displaystyle (W^{m,p}(\Omega ))^{*}}
dla
1
⩽
p
<
∞
:
{\displaystyle 1\leqslant p<\infty {:}}
Przestrzeń
(
W
m
,
p
(
Ω
)
)
∗
{\displaystyle (W^{m,p}(\Omega ))^{*}}
można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni
L
q
(
Ω
)
:=
L
∼
q
{\displaystyle L^{q}(\Omega ):=L_{\sim }^{q}}
wyposażonej w normę
‖
v
‖
L
∼
q
=
sup
{
⟨
u
,
v
⟩
:
u
∈
W
m
,
p
(
Ω
)
,
‖
u
‖
W
m
,
p
(
Ω
)
⩽
1
}
,
{\displaystyle \|v\|_{L_{\sim }^{q}}=\sup\{\langle u,v\rangle \colon \,u\in W^{m,p}(\Omega ),\|u\|_{W^{m,p}(\Omega )}\leqslant 1\},}
tzn.
(
W
m
,
p
(
Ω
)
)
∗
=
L
∼
q
¯
{\displaystyle (W^{m,p}(\Omega ))^{*}={\overline {L_{\sim }^{q}}}}
gdzie
q
{\displaystyle q}
jest wykładnikiem sprzężonym do
p
.
{\displaystyle p.}