Przestrzeń Sobolewa

Przestrzeń Sobolewaprzestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni , których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do Przestrzenie Sobolewa są szeroko wykorzystywanym narzędziem nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.

KonstrukcjaEdytuj

Niech   i   będą ustalonymi liczbami naturalnymi,   będzie liczbą z przedziału [1, ထ) oraz   będzie otwartym podzbiorem   Przestrzenią Sobolewa   nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji   dla których   gdzie   jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek

 

oraz symbol   oznacza słabą pochodną funkcji   rzędu  

Przestrzeń   jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

 

w przypadku   oraz:

 

w przypadku  

WłasnościEdytuj

  •  
  • Przestrzeń   jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem
 

Przestrzenie sprzężone do przestrzeni SobolewaEdytuj

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa   dla   jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na   (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech   oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od   tzn.

 

oraz   Przestrzeń   jest przestrzenią Banacha z normą

 

Przestrzeń sprzężona   jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji   na   dla których

 

dla pewnego   oraz   jest wykładnikiem sprzężonym do   Ponadto,

 

gdzie kres brany jest po wszystkich   dla których   można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni   dla   Przestrzeń   można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni

 

wyposażonej w normę

 

tzn.

 

gdzie   jest wykładnikiem sprzężonym do  

BibliografiaEdytuj