Transformata Gelfanda

Transformata Gelfanda – dla danej przemiennej algebry Banacha przyporządkowanie

dane wzorem

gdzie jest elementem zbioru tj. należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry o wartościach w ciele liczb zespolonych[1]. W zbiorze wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry ). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra ma jedynkę[2]. Otoczenia bazowe danego punktu z przestrzeni Gelfanda są postaci

gdzie jest skończonym podzbiorem Zbiór

nazywany jest radykałem Gelfanda algebry Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci gdzie i są elementami algebry

Transformata Gelfanda

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

Przypisy

edytuj
  1. Zbiór ten jest kanonicznie tożsamy zbiorowi ideałów maksymalnych tej algebry. Każdemu homomorfizmowi wystarczy przyporządkować jego jądro Т. Гамелин (T. Gamelin): Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973, s. 13–14. (ros.).
  2. Przestrzenie Gelfanda pewnych funkcyjnych algebr Banacha są homeomorficzne z przestrzeniami, na których te algebry Banacha są określone. Jeśli   jest algebrą Banacha ciągłych funkcji zespolonych na zwartej przestrzeni Hausdorffa   z normą supremum, to jej przestrzeń Gelfanda jest homeomorficzna z   Gamelin, op. cit., s. 16.

Bibliografia

edytuj
  • H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs.
  • Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 303–318.
  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
  • Гамелин Т.: Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.).