Otwórz menu główne

Całka względem miary wektorowej

Całka względem miary wektorowej – rozszerzenie konstrukcji całki Lebesgue’a na miary wektorowe. Potrzeba wprowadzenia całki w nowym sensie – względem miar wektorowych – zrodziła się w wyniku wzrostu znaczenia tych ostatnich we współczesnej matematyce i zastosowaniach, np. John von Neumann zbudował mechanikę kwantową w oparciu o miary spektralne, szczególne miary wektorowe.

KonstrukcjaEdytuj

Niech   będzie niepustym zbiorem,   będzie σ-ciałem jego podzbiorów oraz niech   oznacza zbiór wszystkich  -mierzalnych, ograniczonych odwzorowań zbioru   w ciało skalarów   Dalej, niech   będzie ustaloną przestrzenią Banacha nad   oraz   będzie miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu, tj.  

Jeżeli funkcja   jest  -mierzalna i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości, to można ją zapisać w postaci

 

gdzie   a zbiory   są parami rozłączne i   Wzór

 

określa odzworowanie liniowe przestrzeni

 

w przestrzeń   Odwzorowanie to jest ciągłe oraz   Podprzestrzeń   jest gęsta, więc odwzorowanie   można jednoznacznie przedłużyć do odwzorowania ciągłego przestrzeni   w przestrzeń   które nadal będziemy oznaczać tym samym symbolem. Oczywiście, nadal   Jeżeli   to zamiast   piszemy też

 

Jeżeli   oraz   to

 

Jeżeli   a   jest ograniczoną funkcją  -mierzalną, to

 

gdzie   dana jest wzorem   gdy   oraz   gdy  

Jeżeli   są rozłączne, a   jest ograniczoną funkcją  -mierzalną, to

 

Analogicznie określa się całkę względem miary wektorowej przeliczalnie addytywnej.

BibliografiaEdytuj

  • Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.
  • Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.