Otwórz menu główne

Miara wektorowaaddytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

DefinicjaEdytuj

Jeśli   jest ciałem zbiorów oraz   przestrzenią unormowaną, to funkcję   spełniającą warunek

 

dla wszelkich rozłącznych zbiorów   nazywamy miarą wektorową[1].

Jeśli   jest σ-ciałem podzbiorów zbioru   to funkcję   nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu   zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała   spełniony jest warunek:

 

Wahanie i półwahanieEdytuj

Jeżeli   jest miarą wektorową, to funkcję   określoną wzorem

  gdzie   jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że   nazywamy wahaniem miary wektorowej  

Funkcję   określoną wzorem

 

nazywamy półwahaniem miary wektorowej  

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

WłasnościEdytuj

  • Jeżeli   jest σ-ciałem podzbiorów zbioru   a   jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to
  gdzie   to odpowiednio wahanie górne i dolne.
  • Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
  • Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
  • Jeżeli   jest miarą wektorową, to  
  • Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
  • Niech   (σ-ciało generowane przez ciało   porównaj: definicję). Jeśli   jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego   zachodzi równość:  
  • Jeżeli wahanie miary wektorowej   jest miarą skończoną, to   jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
  • Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
  • Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

PrzykładyEdytuj

Miara wektorowa (skończenie addytywna).

Niech   będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue’a) podzbioru   określmy odwzorowanie

  gdzie   jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech   będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja   dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego  

  gdzie   jest miarą Lebesgue’a.

Wówczas, także   co dowodzi, że   jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Niech   będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru   mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Funkcja   dana wzorem

  dla   jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.

Niech   Funkcja   dana wzorem

  jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności można znaleźć w[2].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.
  2. Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 1–3.