Przestrzeń ortogonalna

Przestrzeń ortogonalna – skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa $V$ nad ciałem $K$ wraz z określonym symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym

\xi \colon V\times V\to K.

Funkcjonał $\xi$ nazywany jest uogólnionym iloczynem skalarnym w przestrzeni ortogonalnej $V.$

Przykład

Funkcjonał dwuliniowy

\xi \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,

który w bazie kanonicznej ma macierz

{\begin{bmatrix}1&4&1\\4&3&0\\1&0&2\end{bmatrix}},

jest uogólnionym iloczynem skalarnym w przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}.$ Funkcjonał ten można zapisać w jawnej postaci

\xi \left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4&1\\4&3&0\\1&0&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}}=x_{1}y_{1}+4x_{2}y_{1}+4x_{1}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}+3x_{2}y_{2}+2x_{3}y_{3}.