Otwórz menu główne

Ideał maksymalnyideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia.

Istotność ideałów maksymalnych wynika zasadniczo z faktu, że pierścienie ilorazowe ideałów maksymalnych są pierścieniami prostymi, co w przypadku pierścieni przemiennych z jedynką oznacza, że są one także ciałami. Dla pierścieni nieprzemiennych definiuje się ideały maksymalne lewostronny i prawostronny jako maksymalne wśród częściowo uporządkowanego zbioru ideałów odpowiednio lewostronnych bądź prawostronnych. W tym przypadku iloraz jest tylko modułem prostym nad danym pierścieniem. Jeżeli pierścień ma dokładnie jeden prawostronny ideał maksymalny, to nazywa się go pierścieniem lokalnym; wówczas ideał ten jest równocześnie dokładnie jednym lewostronnym ideałem maksymalnym tego pierścienia, co oznacza, że jest on jego (obustronnym) ideałem maksymalnym – w istocie jest to radykał Jacobsona danego pierścienia.

WłasnościEdytuj

W pierścieniach przemiennych z jedynką   zachodzą następujące twierdzenia:

PrzykładyEdytuj

  • W pierścieniu   ideałami maksymalnymi są zbiory wszystkich liczb podzielnych przez daną liczbę pierwszą   (pierścienie ilorazowe są wówczas izomorficzne z ciałami  )[3].
  • W pierścieniu wielomianów   ideałami maksymalnymi są na przykład: zbiór wielomianów, dla których suma współczynników jest parzysta, zbiór wielomianów, dla których różnica między sumą współczynników o indeksach parzystych i nieparzystych jest parzysta (w obu przypadkach pierścienie ilorazowe są izomorficzne z  )
  • W pierścieniu wielomianów   ideałem maksymalnym jest na przykład zbiór wielomianów podzielnych przez   pierścień ilorazowy jest izomorficzny z ciałem liczb zespolonych  
  • W pierścieniu funkcji ciągłych z przestrzeni metrycznej zbiór funkcji znikających w danym punkcie (mających miejsce zerowe w ustalonym punkcie) jest ideałem maksymalnym.

PrzypisyEdytuj

  1. Lang 1984 ↓, s. 67, 68.
  2. Lang 1984 ↓, s. 67.
  3. Lang 1984 ↓, s. 68.

BibliografiaEdytuj

Serge Lang: Algebra. Warszawa: PWN, 1984. ISBN 83-01-01519-5.