Pierścień lokalny

Pierścień lokalny – pierścień przemienny, który ma dokładnie jeden ideał maksymalny. Niektórzy autorzy pierścień przemienny o jedynym ideale maksymalnym nazywają quasi-lokalnym, rezerwując termin pierścień lokalny dla pierścieni quasi-lokalnych i noetherowskich.

Własności

• Pierścień przemienny jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego każdych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym.
• Pierścień $R$ jest lokalny i ${\mathfrak {m}}$ jest jedynym ideałem maksymalnym pierścienia $R$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru $R\setminus {\mathfrak {m}}$ jest odwracalny.
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem lokalnym i noetherowskim o ideale maksymalnym ${\mathfrak {m}},$ to

$\bigcap _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}=\{0\}.$

Jest to szczególny przypadek twierdzenia Krulla o przekroju. Założenia, że $R$ jest pierścieniem noetherowskim nie można pominąć.

Przykłady

• Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest $\{0\}$).
• Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.
• Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $p\in X.$ Rozpatrzmy zbiór par $(V,f),$ gdzie $V$ jest otoczeniem punktu $p$ i $f\colon V\to \mathbb {R}$ jest funkcją ciągłą. Określmy relację $(V_{1},f_{1})\sim (V_{2},f_{2})\iff f_{1}|_{U}=f_{2}|_{U}$ dla pewnego otoczenia $U$ punktu $p.$ Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę $(V,f)$ oznaczmy $[V,f].$ W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić $[X,0]$ jako element zerowy i $[X,1]$ jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie $p$ przestrzeni topologicznej $X$ i oznaczamy przez ${\mathcal {O}}_{X,p}.$ Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał ${\mathfrak {m}}_{X,p}$ złożony z wszystkich klas abstrakcji $[V,f],$ że $f(p)=0.$ Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy $C^{r}$ w punkcie $p$ rozmaitości różniczkowej $X,$ a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie rozmaitości algebraicznej.
• Lokalizacja względem ideału pierwszego. Dla dowolnego pierścienia przemiennego $R$ i jego ideału pierwszego $P$ pierścień złożony z elementów postaci ${\frac {a}{b}},$ gdzie $a\in R,b\in R\setminus P$ jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów ${\frac {a}{b}},$ dla których $a\in P.$
• Dla nierozkładalnego podzbioru $W$ zbioru algebraicznego $V$ pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach $W$ jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na $W.$ Dla zbiorów afinicznych jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem ideału radykalnego odpowiadającego podzbiorowi.

Uogólnienie na pierścienie nieprzemienne

Pojęcie pierścienia lokalnego ma dwa (nierównoważne) uogólnienia w klasie pierścieni nieprzemiennych. I tak pierścień (być może nieprzemienny) $P$ nazywany jest

• pierścieniem lokalnym, gdy pierścień ilorazowy $P/\mathrm {rad} \ P$ jest pierścieniem z dzieleniem;
• pierścieniem semilokalnym, gdy $P/\mathrm {rad} \ P$ jest pierścieniem artinowskim.

Ponadto, dla dowolnego pierścienia $P$ następujące warunki są równoważne:

1. $P$ jest pierścieniem lokalnym;
2. $P$ ma dokładnie jeden ideał lewostronny;
3. $P$ ma dokładnie jeden ideał prawostronny;
4. zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych w $P$ jest ideałem;
5. dla każdej liczby naturalnej $n$ i $a_{1},\dots ,a_{n}\in P,$ o ile tylko element $a_{1}+\dots +a_{n}$ jest odwracalny, to istnieje takie $i\leqslant n,$ że $a_{i}$ jest odwracalny.

Pierścienie lokalne mają dokładnie jeden ideał maksymalny oraz nie mają elementów idempotentnych innych niż 0 i 1. Przykładem nieprzemiennego pierścienia lokalnego jest pierścień macierzy górnotrójkątnych ustalonego stopnia nad pierścieniem z dzieleniem, których wyrazy na głównej przekątnej są sobie równe.

Bibliografia

• M.F. Atiyah, I.G. MacDonald: Introduction to commutative algebra. Westview Press, 1994, s. 4. ISBN 0-201-40751-5.
• Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. PWN, 1985, s. 33, 50. ISBN 83-01-04874-3.
• Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 183. ISBN 978-83-01-14388-6.

Literatura dodatkowa

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1997, s. 142–144.
• Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972, s. 284.
• Tsit Yuen Lam: A first course in noncommutative rings. Wyd. Second edition. New York: Springer-Verlag, 2001, s. 284, seria: Graduate Texts in Mathematics, 131. ISBN 0-387-95183-0.