Otwórz menu główne

Pierścień lokalny

Pierścień lokalnypierścień przemienny, który ma dokładnie jeden ideał maksymalny[1][2]. Niektórzy autorzy pierścień przemienny o jedynym ideale maksymalnym nazywają quasi-lokalnym, rezerwując termin pierścień lokalny dla pierścieni quasi-lokalnych i noetherowskich[3].

WłasnościEdytuj

  • Pierścień przemienny jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego każdych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym[4].
  • Pierścień   jest lokalny i   jest jedynym ideałem maksymalnym pierścienia   wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru   jest odwracalny[5].
  • Jeżeli   jest pierścieniem lokalnym i noetherowskim o ideale maksymalnym   to
 
Jest to szczególny przypadek twierdzenia Krulla o przekroju[6]. Założenia, że   jest pierścieniem noetherowskim nie można pominąć.

PrzykładyEdytuj

  • Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest  ).
  • Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.
  • Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech   będzie przestrzenią topologiczną oraz   Rozpatrzmy zbiór par   gdzie   jest otoczeniem punktu   i   jest funkcją ciągłą. Określmy relację   dla pewnego otoczenia   punktu   Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę   oznaczmy   W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić   jako element zerowy i   jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie   przestrzeni topologicznej   i oznaczamy przez   Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał   złożony z wszystkich klas abstrakcji   że   Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy   w punkcie   rozmaitości różniczkowej   a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie rozmaitości algebraicznej.
  • Lokalizacja względem ideału pierwszego. Dla dowolnego pierścienia przemiennego   i jego ideału pierwszego   pierścień złożony z elementów postaci   gdzie   jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów   dla których  
  • Dla nierozkładalnego podzbioru   zbioru algebraicznego   pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach   jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na   Dla zbiorów afinicznych jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem ideału radykalnego odpowiadającego podzbiorowi.

Uogólnienie na pierścienie nieprzemienneEdytuj

Pojęcie pierścienia lokalnego ma dwa (nierównoważne) uogólnienia w klasie pierścieni nieprzemiennych. I tak pierścień (być może nieprzemienny)   nazywany jest

Ponadto, dla dowolnego pierścienia   następujące warunki są równoważne:

  1.   jest pierścieniem lokalnym;
  2.   ma dokładnie jeden ideał lewostronny;
  3.   ma dokładnie jeden ideał prawostronny;
  4. zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych w   jest ideałem;
  5. dla każdej liczby naturalnej   i   o ile tylko element   jest odwracalny, to istnieje takie   że   jest odwracalny.

Pierścienie lokalne mają dokładnie jeden ideał maksymalny oraz nie mają elementów idempotentnych innych niż 0 i 1. Przykładem nieprzemiennego pierścienia lokalnego jest pierścień macierzy górnotrójkątnych ustalonego stopnia nad pierścieniem z dzieleniem, których wyrazy na głównej przekątnej są sobie równe.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • M.F. Atiyah, I.G. MacDonald: Introduction to commutative algebra. Westview Press, 1994, s. 4. ISBN 0-201-40751-5.
  • Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1997, s. 142–144.
  • Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972, s. 284.
  • Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. PWN, 1985, s. 33, 50. ISBN 83-01-04874-3.
  • Tsit Yuen Lam: A first course in noncommutative rings. Wyd. Second edition. New York: Springer-Verlag, 2001, s. 284, seria: Graduate Texts in Mathematics, 131. ISBN 0-387-95183-0.
  • Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 183. ISBN 978-83-01-14388-6.