Rozkład według wartości osobliwych
Rozkład według wartości osobliwych (rozkład według wartości szczególnych, dekompozycja głównych składowych, dekompozycja na wartości singularne, dekompozycja SVD, rozkład SVD, algorytm SVD (SVD – z ang. Singular Value Decomposition)) – pewien rozkład macierzy (dekompozycja) na iloczyn trzech specyficznych macierzy.
Jest to metoda matematyczna służąca do redukcji wymiaru macierzy. Posiada wiele zastosowań, np. w analizie statystycznej, przy przetwarzaniu obrazów i sygnałów, w robotyce i automatyce.
Teza
edytujKażdą macierz rzeczywistą można przedstawić w postaci rozkładu SVD:
gdzie:
- i – macierze ortogonalne (czyli ),
- – macierz diagonalna (przekątniowa), taka że gdzie – nieujemne wartości szczególne (osobliwe) macierzy zwyczajowo uporządkowane nierosnąco.
Własności
edytujJeżeli macierz jest macierzą nieosobliwą, to można tak dobrać macierze oraz żeby jej wszystkie wartości szczególne (osobliwe) były dodatnie. Jeżeli którakolwiek wartość szczególna macierzy jest równa 0, to macierz ta jest macierzą osobliwą.
Wartość bezwzględna wyznacznika kwadratowej macierzy jest iloczynem jej wszystkich wartości szczególnych (osobliwych):
Przykład
edytujRozważmy macierz:
Rozkład według wartości osobliwych tej macierzy jest następujący:
Przy czym wartości na przekątnej macierzy to pierwiastki wartości własnych macierzy: oraz istotnie:
tudzież: