Rozkład według wartości osobliwych

Rozkład według wartości osobliwych (rozkład według wartości szczególnych, dekompozycja głównych składowych, dekompozycja na wartości singularne, dekompozycja SVD, rozkład SVD, algorytm SVD (SVD – z ang. Singular Value Decomposition)) – pewien rozkład macierzy (dekompozycja) na iloczyn trzech specyficznych macierzy.

Jest to metoda matematyczna stosowana m.in. w analizie statystycznej służąca do redukcji wymiaru macierzy. Posiada wiele zastosowań np. przy przetwarzaniu obrazów i sygnałów, w robotyce i automatyce.

TezaEdytuj

Każdą macierz rzeczywistą   można przedstawić w postaci rozkładu SVD:

 

gdzie:

  •   i   – macierze ortogonalne (czyli    ),
  •  macierz diagonalna (przekątniowa), taka że   gdzie   – nieujemne wartości szczególne (osobliwe) macierzy   zwyczajowo uporządkowane nierosnąco.

WłasnościEdytuj

Jeżeli macierz   jest macierzą nieosobliwą, to można tak dobrać macierze   oraz   żeby jej wszystkie wartości szczególne (osobliwe) były dodatnie. Jeżeli którakolwiek wartość szczególna macierzy jest równa 0, to macierz ta jest macierzą osobliwą.

Wartość bezwzględna wyznacznika kwadratowej macierzy   jest iloczynem jej wszystkich wartości szczególnych (osobliwych):

 

PrzykładEdytuj

Rozważmy macierz:  

 

Rozkład według wartości osobliwych tej macierzy jest następujący:

 

Przy czym wartości na przekątnej macierzy   to pierwiastki wartości własnych macierzy:   oraz istotnie:

 

tudzież:

 

Zobacz teżEdytuj