Macierze podobne

relacja równoważności na macierzach kwadratowych ustalonego wymiaru

Macierze podobnemacierze kwadratowe stopnia nad ciałem spełniające równość dla pewnej macierzy nieosobliwej[1].

Relację podobieństwa macierzy oznacza się symbolem Podobieństwo macierzy zapisuje się: [1].

Relacja podobieństwa macierzy jest relacją równoważności[2], ponieważ jest:

  • zwrotna: ponieważ gdzie to macierz identycznościowa;
  • symetryczna:
  • przechodnia: [3].

Własności

edytuj

Macierz   nazywa się podobną do macierzy   jeżeli istnieje taka macierz nieosobliwa   że   Mówi się, że macierz   powstaje z macierzy   za pomocą przekształcenia zwanego podobieństwem. Przekształcenie to ma następujące własności[4]:

 
 

W szczególności   i ogólnie   dla dowolnego wielomianu  

Z ostatniej własności wynika, że

  • macierze podobne mają jednakowe wielomiany charakterystyczne, ponieważ
  gdzie   to macierz identycznościowa.

Wartości i wektory własne

edytuj

Macierze podobne   i   mają jednakowe wielomiany charakterystyczne i dlatego mają także jednakowe widma wartości własnych. Geometryczny sens tej zależności wynika z faktu, że macierze te reprezentują jedno i to samo przekształcenie odniesione do różnych baz. Dlatego wektory własne macierzy podobnych są kolumnami utworzonymi ze współrzędnych wektorów własnych danego przekształcenia w różnych bazach i wobec tego zachodzi między nimi związek

 

gdzie   jest macierzą przekształcenia współrzędnych. Związek ten wynika z równań

 

Przypisy

edytuj
  1. a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 88, Definicja 5.9.
  2. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 88, Lemat 5.16.
  3. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 88, Lemat 5.16 – dowód.
  4. W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, PWN, Warszawa 1955.

Bibliografia

edytuj