Równanie całkowe Fredholma

Równanie całkowe Fredholma^[1] – równanie całkowe postaci

u(x)-\mu \int \limits _{\Omega }k(x,y)u(y)dy=v(x),\;x\in \Omega \;{\mbox{(Fr)}},

gdzie funkcje $k,v$ oraz liczba $\mu$ są ustalone natomiast funkcja $u$ jest szukana.

Zwykle o zbiorze $\Omega$ zakłada się, że jest otwartym i spójnym podzbiorem przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}.$ Funkcję $k$ nazywamy jądrem. Nakładając na jądro pewne założenia (np. co do całkowalności) można otrzymać wyniki dotyczące istnienia rozwiązań równania Fredholma. Jednym z nich jest twierdzenie Fredholma:

Twierdzenie Fredholma

Niech $k\in L^{2}(\Omega \times \Omega ).$ Wówczas

Równanie ${\mbox{(Fr)}}$ ma dla każdej prawej strony $v\in L^{2}(\Omega )$ niezerowe rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega )$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania

u(x)-\mu \int \limits _{\Omega }k(x,y)u(y)dy=0,\,({\mbox{Fr}}_{0})

jest funkcja tożsamościowo równa zeru.

Jeśli $({\mbox{Fr}}_{0})$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega ),$ to istnieje również niezerowe rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega )$ równania

u(x)-{\overline {\mu }}\int \limits _{\Omega }{\overline {k(y,x)}}u(y)dy=0,\,{\overline {({\mbox{Fr}}_{0})}},

ponadto, rozwiązania obu tych równań tworzą skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe o równych wymiarach.

Jeżeli równanie $({\mbox{Fr}}_{0})$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega ),$ to równanie ${\mbox{Fr}}$ ma rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega )$ dla danej prawej strony $v\in L^{2}(\Omega )$ wtedy i tylko wtedy, gdy

\int \limits _{\Omega }v(x){\overline {u(x)}}dx=0

dla każdego

u\in L^{2}(\Omega )

spełniającego równanie

{\overline {({\mbox{Fr}}_{0})}}.

Zbiór wszystkich liczb $\mu$ dla których $({\mbox{Fr}}_{0})$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega )$ jest albo skończony albo tworzy ciąg $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ taki, że

|\mu _{n}|\to \infty .

Uwagi o dowodzie

Dowód twierdzenia Fredholma opiera się całkowicie na alternatywie Fredholma oraz następującej obserwacji – jeżeli $k\in L^{2}(\Omega \times \Omega )$ oraz