Otwórz menu główne

Równanie całkowe Fredholmarównanie całkowe postaci

gdzie funkcje oraz liczba są ustalone natomiast funkcja jest szukana.

Zwykle o zbiorze zakłada się, że jest otwartym i spójnym podzbiorem przestrzeni Funkcję nazywamy jądrem. Nakładając na jądro pewne założenia (np. co do całkowalności) można otrzymać wyniki dotyczące istnienia rozwiązań równania Fredholma. Jednym z nich jest twierdzenie Fredholma:

Twierdzenie FredholmaEdytuj

Niech   Wówczas

  • Równanie   ma dla każdej prawej strony   niezerowe rozwiązanie   wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania
 
jest funkcja tożsamościowo równa zeru.
  • Jeśli   ma niezerowe rozwiązanie   to istnieje również niezerowe rozwiązanie   równania
 
ponadto, rozwiązania obu tych równań tworzą skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe o równych wymiarach.
  • Jeżeli równanie   ma niezerowe rozwiązanie   to równanie   ma rozwiązanie   dla danej prawej strony   wtedy i tylko wtedy, gdy
 
dla każdego   spełniającego równanie  
  • Zbiór wszystkich liczb   dla których   ma niezerowe rozwiązanie   jest albo skończony albo tworzy ciąg   taki, że
 

Uwagi o dowodzieEdytuj

Dowód twierdzenia Fredholma opiera się całkowicie na alternatywie Fredholma oraz następującej obserwacji – jeżeli   oraz

 

dla   to

  • operator   jest liniowy i ciągły.
  • operator   jest zwarty
  • operator   jest również zwarty oraz
 

Nazwa równania pochodzi od nazwiska szwedzkiego matematyka Fredholma.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ​ISBN 0-8218-0772-2​.