Otwórz menu główne

Alternatywa Fredholma – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie dotyczące istnienia i jednoznaczności równań liniowych w przestrzeniach Banacha. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Erika Fredholma, który udowodnił je w kontekście równań całkowych na przestrzeni Hilberta.

Alternatywa Fredholma jest uogólnieniem na nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha następującego faktu dotyczącego algebry liniowej. Dla danego przekształcenia liniowego S: VV na n-wymiarowej przestrzeni liniowej zachodzi dokładnie jedna z możliwości:

Podstawowa wersja alternatywy FredholmaEdytuj

Niech X będzie zespoloną przestrzenią Banacha, T: XX będzie liniowym operatorem zwartym oraz λ niezerową liczbą zespoloną. Wówczas równanie

 

ma rozwiązanie dla każdego yX wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania

 

jest x = 0[1]. Innymi słowy, równanie y = Tx - λx ma rozwiązanie dla każdego yX wtedy i tylko wtedy, gdy λ nie jest wartością własną operatora T. Jeszcze inaczej, jeżeli S = T - λ·IX, gdzie IX oznacza operator identycznościowy na X, to albo

  • operator S jest suriektywny, albo
  • operator S nie jest różnowartościowy.

DowódEdytuj

  • Przypadek, gdy λ nie jest wartością własną operatora T: XX. W tym przypadku istnieje taka liczba c > 0, że operator T - λ·IX jest ograniczony z dołu przez c, tj.
 
Rzeczywiście, ze względu na dodatnią jednorodność normy wystarczy wykazać powyższe stwierdzenie dla wektorów o normie 1. Gdyby tak nie było, istniałby ciąg wektorów jednostkowych (xn) w X, że ciąg (Txn - λxn) jest zbieżny do zera. Ponieważ ||λxn|| = |λ|, infimum norm elementów yn = Txn jest dodatnie. Ponieważ operator T jest zwarty, ciąg (yn) ma podciąg (ynk) zbieżny do pewnego niezerowego elementu yX. Z uwagi na to, że ciąg (Txn - λxn) jest zbieżny do zera, ciąg (Tynk - λynk) jest również zbieżny do zera, a więc z ciągłości, Ty - λy = 0, co przeczy temu, że λ nie jest wartością własną T.
Ponieważ operator T - λ·IX jest ograniczony z dołu, jest on izomorfizmem na swój obraz. By udowodnić, że dla każdego yX istnieje takie xX, że y = Tx - λx, należy uzasadnić, że cała przestrzeń X jest obrazem operatora T - λ·IX. Gdyby tak nie było, to dla każdej liczby naturalnej m podprzestrzeń Xm będąca obrazem operatora (T - λ·IX)m byłaby właściwa (i domknięta). Z lematu Riesza wynikałoby istnienie takich wektorów xm w X o normie 1, że odległość xm od Xm wynosi co najmniej 1/2.
Niech m < n będą liczbami naturalnymi. Wówczas Txn - λxn jak i Txm - λxm należą do Xm+1, tj.
 
Ponieważ odległość między xm od Xm wynosi co najmniej 1/2 zachodzi oszacowanie
 
które przeczy zwartości T, gdyż ciąg (Txn) nie ma podciągu zbieżnego.
  • Przypadek, gdy λ jest wartością własną operatora T: XX implikuje, że operator T - λ·IX nie jest różnowartościowy ponieważ (niezerowa) wartość własna odpowiadająca λ należy do jego jądra. W tym wypadku obrazem operatora T - λ·IX nie może być cała przestrzeń X (tj. operator ten nie jest suriektywny). Istotnie, z twierdzenia Schaudera o operatorze sprzężonym wynika, że operator T* jest również zwarty. Ponadto, (T - λ·IX)* = T* - λ·IX*. Gdyby T - λ·IX był suriektywny, operator T* - λ·IX* byłby różnowartościowy, tj. w szczególności, λ nie byłaby jego wartością własną. Z udowodnionej wyżej implikacji wynikałoby, że operator T* - λ·IX* byłby w tym wypadku suriektywny. Oznaczałoby to, że operator T** - λ·IX** jest różnowartościowy. Jest to jednak sprzeczność, ponieważ:
 
gdzie κX: XX** oznacza kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną.

Wersja ogólnaEdytuj

Pod pojęciem alternatywy Fredholma niektórzy rozumieją następujące twierdzenie, które opisuje wymiar jądra operatora IX - T z jego obrazem dla operatora zwartego T: XX na przestrzeni Banacha X[2].

Niech T: XX będzie operatorem zwartym na zespolonej przestrzeni Banacha X. Wówczas

  • jądro operatora IX - T jest skończenie wymiarowe,
  • obraz operatora IX - T jest domknięty, ponadto
 
  • operatora IX - T jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest on suriektywny (tj. jego obrazem jest cała przestrzeń X),
  •  


Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Fabian et al. 2001 ↓, s. 660-661.
  2. Brezis 2011 ↓, s. 160-162.

BibliografiaEdytuj

  1. Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
  2. L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ​ISBN 0-8218-0772-2
  3. Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vincente Montesinos Santalucía, Jan Pelant, Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-dimensional Geometry, CMS Books in Mathematics, 8, New York: Springer-Verlag (2001), ​ISBN 0-387-95219-5​.