Prawo Gaussa (elektryczność)

opis pola elektrycznego

Prawo Gaussa dla elektryczności – prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:

Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności elektrycznej jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

Prawo Gaussa w próżni

edytuj

W ujęciu całkowym

edytuj

Strumień   natężenia pola elektrycznego   przenikający przez zamkniętą powierzchnię   ograniczającą obszar o objętości   jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego   zawartego w tym obszarze (objętości)[1]:

 

przy czym:

W ujęciu różniczkowym

edytuj

Dywergencja natężenia pola elektrycznego równa jest ilorazowi gęstości ładunku i przenikalności elektrycznej próżni:

 

przy czym:

  – dywergencja natężenia pola elektrycznego,
  – gęstość ładunku,
 przenikalność elektryczna w próżni równa  

Prawo Gaussa w materii

edytuj

W materii pole elektryczne wywołuje przesunięcie ładunków elektrycznych, co skutkuje powstaniem ładunków zwanych ładunkami indukowanymi. Prawo Gaussa obowiązuje także w tej sytuacji, ale trzeba uwzględnić ładunki indukowane w ośrodku. Jest to podejście bardzo niewygodne w związku z czym uwzględnia się ten wkład za pomocą przenikalności elektrycznej materiału ośrodka:

 

przy czym:

  – ładunki swobodne objęte powierzchnią  
  – ładunki indukowane w ośrodku objęte powierzchnią  
 względna przenikalność elektryczna ośrodka,
 przenikalność elektryczna ośrodka (bezwzględna).

W ujęciu różniczkowym prawo Gaussa można teraz zapisać jako

 

w którym:

  – gęstość ładunków swobodnych.

Wkład ośrodka można też uwzględnić za pomocą indukcji elektrycznej związanej z natężeniem pola elektrycznego przez

 

Dla której prawo Gaussa brzmi[2]: Strumień indukcji elektrycznej   przenikający przez zamkniętą powierzchnię   jest równy ładunkowi elektrycznemu   zawartemu w objętości zamkniętej powierzchnią  

 

lub w postaci różniczkowej[3]

 

w którym:

  – dywergencja indukcji elektrycznej.

Konsekwencje prawa Gaussa

edytuj

Wzór:   jest wyrazem faktu, że pole wektorowe   jest polem źródłowym.

Dla ładunku punktowego   pole ma symetrię sferyczną, dzięki czemu strumień pola w odległości   można zapisać jako:

 

w którym   jest powierzchnią kuli o promieniu  

Z powyższego wynika:

 

Pole powierzchni kuli jest równe   Stąd wynikają wzory na natężenie pola elektrycznego oraz siłę oddziaływania ładunku próbnego   z ładunkiem punktowym:

 
 

Otrzymany wzór wyraża prawo Coulomba. Dodatkowym wnioskiem z powyższego równania jest to, że jeżeli w prawie Coulomba występuje wykładnik równy dokładnie 2 (co jest wyznaczane eksperymentalnie), to nasza przestrzeń ma dokładnie 3 wymiary. Jest to jedna z niewielu bezpośrednich metod badania „wymiarowości” naszej przestrzeni.

Prawo Gaussa zostało później ujęte w równaniach Maxwella.

Odpowiednik dla magnetyzmu

edytuj

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne, dywergencja pola jest wszędzie równa zero.

 

Odpowiednik dla grawitacji

edytuj

Prawo Gaussa dotyczy także pól grawitacyjnych:

 

przy czym:

 natężenie pola grawitacyjnego,
 stała grawitacji.

Strumień natężenia pola   przez powierzchnię zamkniętą   równy jest całkowitej masie   zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez  

Uwaga: Ta postać prawa Gaussa jest prawdziwa jedynie w teorii grawitacji Newtona. W ogólnej teorii względności już nawet w najprostszym przypadku jednorodnego pola przyspieszeń w zadanym obszarze (wektory przyspieszenia są w tym obszarze równoległe) zachodzi bowiem:

 

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. D. Halliday, Robert Resnick: Fizyka T. 2. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
  2. Gaussa prawo, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-22].
  3. Dielektryk w polu elektrycznym. [dostęp 2010-02-10]. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-02-22)].