Otwórz menu główne

Całka powierzchniowa

całka, w której obszarem całkowania jest płat powierzchni

Całka nieskierowanaEdytuj

Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

Definicja formalnaEdytuj

Niech funkcja rzeczywista   określona na powierzchni   będzie ciągła. Poprzez   oznaczamy rzut powierzchni   na płaszczyznę   Dzielimy   na podobszary   gdzie   dla każdego   Oznaczmy przez   ten konkretny podział.

Oznaczamy przez   tę część powierzchni   której rzutem na płaszczyznę   jest   Niech   oznacza pole powierzchni   a   pole powierzchni  [1]. Na każdym   obieramy dowolny punkt   Rzutem   na   jest  

Tworzymy sumę   Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów   żeby największa ze średnic   dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich   ciąg sum   dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

 

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.

ObliczanieEdytuj

Płat dany jawnieEdytuj

Jeśli płat dany równaniem   gdzie funkcja   jest klasy   w   to

 

Płat dany parametrycznieEdytuj

Niech płat dany jest równaniami   i ponadto zachodzą następujące warunki:

  • funkcje   są klasy   w  
  •   jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
  • różnym punktom wnętrza   odpowiadają różne punkty  
  • wyrażenie   jest różne od zera wewnątrz  

Wtedy

 

Uwaga. Wyrażenie   jest sumą kwadratów minorów wziętych z macierzy Jakobiego 

Przykłady zastosowaniaEdytuj

Jeżeli funkcja   wyraża gęstość materialnego płata   w punkcie   to masa całego tego płata jest równa  

Pole powierzchni płata   jest równe  

Całka skierowanaEdytuj

Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

DefinicjaEdytuj

Niech funkcja wektorowa   określona na powierzchni   będzie ciągła.

Poprzez   oznaczamy rzut powierzchni   na płaszczyznę  

  dzielimy na podobszary   takie że   dla każdego   Poprzez   oznaczamy ten konkretny podział. Przez   oznaczamy tę część powierzchni   której rzutem na płaszczyznę   jest   a przez   oznaczamy pole powierzchni  

Na każdym   obieramy dowolny punkt   Rzutem   na   jest  

Tworzymy sumę   gdzie   jest składową wektora   normalną do  

Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów   żeby największa ze średnic   dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich   ciąg sum   dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

 

lub

 

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną[2]. Niekiedy używa się również oznaczenia     lub podobnego[3].

Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:

  gdzie  

to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie   a osiami układu współrzędnych[4].

ObliczanieEdytuj

Płat dany jawnieEdytuj

Niech płat jest zadany równaniem   gdzie funkcja   jest klasy   w   I niech   jest wektorem normalnym do   skierowanym zgodnie z osią   Wtedy

 
 

gdzie   jeśli płat   jest zorientowany zgodnie z osią   i   jeśli jest zorientowany przeciwnie.

Płat dany parametrycznieEdytuj

Niech płat dany jest równaniami   gdzie wszystkie te funkcje są klasy   w   I niech ponadto zachodzą następujące warunki:

  •   jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
  • różnym punktom wnętrza   odpowiadają różne punkty  
  • wyrażenie   jest różne od zera wewnątrz   (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej  ).

Wtedy:

 

gdzie:

 

Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:

 

Tu   gdy płat   jest zorientowany zgodnie z wektorem h;   gdy jest zorientowany przeciwnie.

Dane 3 rzutyEdytuj

Jeśli płat   można opisać wzorami   gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach       będących rzutami   odpowiednio na       to

 
 

  gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a   gdy jest zorientowany przeciwnie.   itd.

  • Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
  • Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
  • Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

PrzykładyEdytuj

Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère’a.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Należałoby najpierw zdefiniować pole powierzchni w   Por. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3.
  2. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowa t. 3, s. 237.
  3. W. Mizerski (red.), Tablice matematyczne, Warszawa 2004, s. 141.
  4. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3, s. 241.