Kompleks symplicjalny

Zbiór sympleksów w nazywamy kompleksem symplicjalnym (geometrycznym w odróżnieniu od abstrakcyjnego kompleksu symplicjalnego), jeśli spełnione są następujące warunki[1]:

Kompleks symplicjalny wymiaru 3
1. Dowolna ściana sympleksu należącego do jest również elementem
2. Przekrój dowolnych dwóch sympleksów jest zbiorem pustym lub ich wspólną ścianą.

Wymiar kompleksu symplicjalnego

edytuj

Jeżeli kompleks   zawiera sympleks wymiaru   lecz nie zawiera sympleksu wymiaru większego, to liczbę   nazywamy wymiarem kompleksu   co oznaczamy   Natomiast gdy dla każdego   kompleks   zawiera sympleks wymiaru większego niż   to mówimy, że ma wymiar nieskończony co oznaczamy  

Izomorfizm kompleksów symplicjalnych

edytuj

Kompleksy symplicjalne   nazywamy izomorficznymi jeżeli istnieje odwzorowanie symplicjalne   będące izomorifzmem.

Realizacja geometryczna kompleksu symplicjalnego

edytuj

Każdy kompleks symplicjalny składa się ze zbioru sympleksów i wszystkie są podzbiorami pewnego ustalonego   Podzbiór   złożony z punktów sympleksów   nazywamy jego nośnikiem i oznaczamy   Zbiór   w sposób naturalny dziedziczy topologię z   Jednak prowadzi to do sytuacji, w której dla izomorficznych kompleksów ich nośniki z tymi topologiami mogą nie być homeomorficzne jako przestrzenie topologiczne. Jest to zależne od tego, w jaki sposób zbiory te są położone w   Z tego względu zbiór   wyposaża się w topologię (zwaną słabą), w której bazę stanowią zbiory   których przekrój z każdym sympleksem   jest zbiorem otwartym w tym sympleksie. Zbiór   wraz z topologią słabą nazywamy realizacją geometryczną kompleksu  [1].

Przypisy

edytuj
  1. a b Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Część I. Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1986. ISBN 83-01-05714-9.

Linki zewnętrzne

edytuj