Krzywa drugiego stopnia

Krzywa drugiego stopniakrzywa dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne

gdzie:

przy czym przynajmniej jeden ze współczynników musi być różny od zera.

W zależności od wartości współczynników krzywa może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Każda krzywa drugiego stopnia jest pewną krzywą stożkową.

NiezmiennikiEdytuj

Dla krzywej danej równaniem 2 stopnia poszczególne współczynniki   zmieniają się przy zmianie układu współrzędnych. Jednak pewne wielkości zwane niezmiennikami są niezależne od wyboru ortonormalnego układu współrzędnych:

 
 
 

Klasyfikacja krzywych 2 stopniaEdytuj

W oparciu o znaki niezmienników można przeprowadzić klasyfikację krzywych:

Wartości Δ, δ i S krzywa postać kanoniczna uwagi
Krzywe
środkowe

δ≠0
δ>0 Δ•S<0 elipsa rzeczywista   dla   elipsa
jest okręgiem
Δ•S>0 elipsa urojona  
Δ=0 para prostych urojonych
z jednym punktem rzeczywistym
 
δ<0 Δ≠0 hiperbola  
Δ=0 para prostych przecinających się  
Krzywe
paraboliczne
δ=0
S≠0
Δ≠0 parabola  
Δ=0   para prostych równoległych   równoważnie można
badać znak wyrażenia

 
  para prostych pokrywających się  
  para prostych urojonych  

BibliografiaEdytuj

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299–301.
  • Marceli Stark: Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1972, s. 177–184.