Otwórz menu główne

Współrzędne uogólnione

Współrzędne uogólnione – niezależne od siebie wielkości, które jednoznacznie opisują położenie ciała lub układu ciał w przestrzeni. Wielkościami takimi mogą być współrzędne kartezjańskie – wtedy położenie każdego pojedynczego ciała jednoznacznie opisują trzy współrzędne Można także stosować współrzędne walcowe sferyczne (np. kąty określające odchylenia wahadła od pionu), jak również współrzędne równe odległości mierzonej wzdłuż zadanych krzywych od ustalonych punktów do miejsca, gdzie znajduje się dane ciało (por. przykład koralik na drucie) itp.

Współrzędne uogólnione najczęściej wprowadza się, jeżeli ciała układu poddane są działaniu więzów, ograniczających ich ruch. Np. do opisu położenia ciała zamocowanego do nierozciągliwej nici wystarczą 2 współrzędne zamiast 3. W ogólności, liczba współrzędnych niezbędnych do opisania położenia ciał poddanych więzom jest mniejsza niż liczba współrzędnych kartezjańskich, potrzebnych do opisu położenia ciał swobodnych (tj. ciał, których ruch nie jest ograniczony więzami).

Współrzędne uogólnione stosuje się zarówno w mechanice klasycznej, jak i kwantowej.

Definicja współrzędnych uogólnionychEdytuj

Niech dany będzie układ   cząstek w przestrzeni. Położenie cząstek w chwili   można opisać za pomocą zespołu   współrzędnych kartezjańskich   Jeżeli jednak ruch cząstek zostanie ograniczony za pomocą   więzów, to liczba współrzędnych niezbędnych do opisania położenia układu zmniejszy się o  

Mianowicie, niech więzy będę opisane za pomocą   równań:

 

Wtedy zamiast współrzędnych   można wprowadzić   nowych współrzędnych   zadanych za pomocą   niezależnych funkcji współrzędnych   oraz czasu  :

 

Współrzędne   nazywa się współrzędnymi uogólnionymi. Określają one jednoznacznie położenie układu w chwili   podlegającego działaniu   więzów. Zespół współrzędnych uogólnionych oznacza się pojedynczym symbolem   tj.

 

Wielkość   oznacza położenie układu w przestrzeni konfiguracyjnej, w której wprowadzono współrzędne uogólnione.

Definicja prędkości uogólnionychEdytuj

Współrzędne uogólnione – podobnie jak współrzędne kartezjańskie – w ogólności będą zmieniać się w czasie ruchu ciała. Ich pochodne po czasie nazywa się prędkościami uogólnionymi, tzn. wielkości

 

nazywa się prędkościami uogólnionymi.

Np. jeżeli wyrazi się współrzędne kartezjańskie za pomocą współrzędnych uogólnionych,

 

to obliczając pochodną zupełną powyższego wyrażenia względem czasu otrzyma się prędkości   które zależą od prędkości uogólnionych  

 

PrzykładyEdytuj

 
Współrzędna uogólniona   równa odległości koralika od ustalonego punktu. (Siły działające na koralik: N – siła grawitacji, C – siła reakcji druta.)

Koralik na drucieEdytuj

Koralik ślizga się bez tarcia po drucie, tworzącym krzywą płaską, podlegając działaniu siły grawitacji. Problem polega na wyznaczeniu położenia koralika w chwili  

Opis ruchu we współrzędnych kartezjańskichEdytuj

Położenie koralika w chwili   można opisać wyrażając wektor wodzący za pomocą współrzędnych kartezjańskich

 

Jeżeli krzywa, po której porusza się koralik, nie jest linią prostą, to zagadnienie rozwiązania ruchu koralika w ramach mechaniki Newtona wymagałoby uwzględnienia sił, zmieniających się w czasie – problem byłby w ogólnym wypadku bardzo złożony.

Opis ruchu we współrzędnych uogólnionychEdytuj

Opis ruchu można uprościć w ramach mechaniki Lagrange’a, której formalizm pozwala łatwo znaleźć równania ruchu, gdy dobierze się zamiast współrzędnych kartezjańskich współrzędne uogólnione „zgodne z więzami”. W przypadku ruchu koralika wystarczy wyrazić jego położenie w zależności od jednej współrzędnej uogólnionej; jako taką współrzędną dogodnie jest wybrać np. odległości   koralika od ustalonego punktu drutu, mierzoną wzdłuż drutu. Odległość   jest współrzędną uogólnioną zgodną z więzami.

Ograniczenia nałożone na ruch koralika mogą być opisane za pomocą dwóch równań więzów

 
 

Mamy tu   współrzędnych kartezjańskich,   więzy oraz   stopni swobody.

Jeżeli krzywa leży w płaszczyźnie   to współrzędna   jest funkcją jedynie współrzędnych kartezjańskich  :

 

Aby znaleźć tę funkcją wyraża się element łuku krzywej   przez przyrosty  

 

Z równania więzów wynika, że   co implikuje zależność   podstawiając ostatnie wyrażenie do wzoru na   otrzyma się zależność   jedynie od  

 

Odległość   punktu   od ustalonego punktu, np.   wyrazi więc wzór:

 

Np. gdy krzywa ma kształt paraboli leżącej w płaszczyźnie   to mamy równania

 
 

gdzie   – parametr paraboli.

Wtedy

 

oraz

 
 
Współrzędne uogólnione wahadła podwójnego – kąty   odchylenia nici od pionu.

Obliczając powyższą całkę dla danej wartości   otrzyma się jednoznaczną wartość współrzędnej uogólnionej   Widać stąd, że do opisania położenia ciała, którego ruch ograniczony jest do krzywej płaskiej, wystarczy tylko jedna współrzędna   zamiast dwóch współrzędnych  

Analogiczny wniosek dotyczy poruszania się ciała po krzywej w przestrzeni 3D – tu zamiast trzech współrzędnych   wystarczy także podanie jednej współrzędnej uogólnionej  

Wahadło podwójneEdytuj

Zamiast współrzędnych kartezjańskich   określających położenia kulek można wprowadzić współrzędne uogólnione – kąty   określające odchylenia nici od pionu.

Energia kinetyczna we współrzędnych uogólnionychEdytuj

Energię kinetyczną układu   cząstek przedstawia wzór[1]

 

gdzie · oznacza iloczyn skalarny,   – pochodna wektora położenia  -tej cząstki po czasie,   – masa  -tej cząstki.

Współrzędne kartezjańskieEdytuj

Jeżeli wektory wodzące cząstek wyrazi się przez współrzędne kartezjańskie,

   

to wektory prędkości cząstek będą zależeć jedynie od pochodnych współrzędnych po czasie

 

Ponieważ

 

to otrzyma się (zastępując oznaczenia współrzędnych   przez  )

 

Oznacza to, że energia kinetyczna układu, którego położenie jest zadane przez współrzędne kartezjańskie, zależy jedynie od prędkości cząstek, nie zależy zaś ani od współrzędnych, ani od czasu,  

Współrzędne uogólnione zależne od czasuEdytuj

Jeżeli jednak wektory wodzące   cząstek wyrazi się przez współrzędne uogólnione, zależne w ogólności od czasu,

 

to pochodne czasowe   przyjmą postać

 

i wtedy otrzyma się[2]

 

co oznacza, że energia kinetyczna będzie zależeć od współrzędnych uogólnionych   prędkości uogólnionych   i czasu – jeżeli więzy będą zależeć od czasu, czyli  

Współrzędne uogólnione niezależne od czasuEdytuj

Jeżeli jednak więzy będą stałe w czasie, to wszystkie pochodne cząstkowe po czasie będą zerować się – wtedy energia kinetyczna będzie funkcją współrzędnych uogólnionych, funkcją jednorodną kwadratową prędkości uogólnionych   niezależną jawnie od czasu, gdyż

 

Powyższe wyrażenie jest równoważne kwadratowi elementu liniowego trajektorii  -tej cząstki

 

gdyż dzieląc powyższe wyrażenie przez   otrzyma się kwadrat prędkość  -tej cząstki   Dla więzów niezależnych od czasu wystarczy więc znać element liniowy trajektorii cząstki, aby obliczyć jej energię kinetyczną[3].

Wyrażenia na energię kinetyczną w różnych układach współrzędnychEdytuj

Energia kinetyczna przyjmuje różne wyrażenia w zależności od układu współrzędnych. Dla układów niezależnych od czasu otrzyma się wyrażenia:

1) we współrzędnych kartezjańskich  

 

2) we współrzędnych biegunowych  

 

3) we współrzędnych cylindrycznych  

 

4) we współrzędne sferycznych  

 

Powyższe przykłady pokazują, że jeżeli współrzędne uogólnione nie zależą jawnie od czasu, to energia kinetyczna jest funkcją jednorodną kwadratową (funkcją jednorodną stopnia 2) prędkości uogólnionych, np.   – podobnie jak w przypadku współrzędnych kartezjańskich – jednakże energia kinetyczna zależy tu ponadto od współrzędnych uogólnionych, np. w powyższych przykładach od  

Pęd we współrzędnych uogólnionychEdytuj

We współrzędnych uogólnionych definiuje się tzw. pęd uogólniony   sprzężony kanonicznie ze współrzędną uogólnioną   który oblicza się jako pochodną lagranżjanu po pochodnej czasowej   tej współrzędnej

 

Jeżeli lagranżjan nie zależy od współrzędnej   to

 

i z równań Eulera-Lagrange’a wynika, że pochodna czasowa pędu uogólnionego będzie równa  

 

a więc pęd uogólniony będzie stały (będzie stałą ruchu).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj