Więzy skleronomiczne

Więzy skleronomiczne – więzy nałożone na układ mechaniczny, które można zapisać w postaci jednej lub większej liczby funkcji zależnych od położeń punktów materialnych, tworzących układ, ale nie zawierających jawnie czasu, tj. np. w postaci

$f({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\ldots ,{\vec {r}}_{n})=0$

lub

$f({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\ldots ,{\vec {r}}_{n})\leq 0$

gdzie ${\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\ldots ,{\vec {r}}_{n}$ są wektorami wodzącymi określającymi położenia $n$ punktów materialnych w chwili $t,$ przy czym w przypadku funkcji zawierających równości funkcje te definiują tzw. więzy skleronomiczne dwustronne, a gdy funkcje określające więzy mają postać nierówności, to funkcje te definiują tzw. więzy skleronomiczne jednostronne.

Przykład: Więzy nakładane na wahadło

Wahadło proste – układ skleronomiczny, czyli o więzach niezależnych od czasu.

Poniższy zostanie omówiony ruchu wahadła prostego, które stanowi przykład układu złożonego z pojedynczego punktu materialnego; wektor wodzący ciała ${\vec {r}}=(x,y,z)$ zawiera w ogólności trzy współrzędne zmienne w czasie; jeżeli jednak założy się odpowiednie warunki początkowe, to ruch będzie odbywał się w płaszczyźnie i wtedy $z=0.$

Wahadło jako układ skleronomiczny

Wahadło proste składa się z ciężarka zawieszonego na nierozciągliwej nici. Podczas ruchu wahadła długość nici nie ulega zmianie, czyli równanie więzów ma postać:

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0,$

gdzie ${\vec {r}}(x,y)$ jest wektorem położenia ciężarka zapisanym w układzie współrzędnych kartezjańskich, $L$ jest długością nici.

Powyższa funkcja $f(x,y)=0$ definiuje więzy, które nie zależą jawnie od czasu, a więc są to więzy skleronomiczne (i dwustronne). Układ poddany takim więzom nazywamy układem skleronomicznym.

Wahadło proste z drgającym punktem zaczepienia – układ reonomiczny, czyli o więzach zależnych od czasu.

Wahadło jako układ reonomiczny

Niech punkt zaczepienia wahadła o współrzędnych $(x_{t},y_{t})$ wykonuje ruch harmoniczny prosty w kierunku poziomym, tj.

$x_{t}=x_{0}\cos \,(\omega t),$

$y_{t}=0,$

gdzie $x_{0}$ oznacza amplitudę drgań, $\omega$ – częstość kołową, $t$ – czas.

Chociaż punkt zaczepienia wahadła nie jest unieruchomiony, to długość nierozciągliwej nici wahadła jest nadal stała. Dlatego odległość między punktem zaczepienia a ciężarkiem jest stała i omawiany układ podlega więzom o postaci

${\sqrt {\,(x-x_{0}\cos \,(\omega \,t)\,)^{2}+y^{2}}}-L=0.$

Są to więzy reonomiczne (i dwustronne), ponieważ powyższa funkcja definiująca więzy ma postać $f(x,y,t)=0,$ czyli zależy jawnie od czasu.

Ogólne wyrażenie na energię kinetyczną

Główny artykuł: Współrzędne uogólnione

Omówiony zostanie tu przypadek pojedynczego punktu materialnego. Uogólnienie na przypadek układu złożonego z wielu ciał jest analogiczne.

W przestrzeni 3-D cząstka o masie $m$ i prędkości ${\vec {v}}$ ma energię kinetyczną

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}.$

Prędkość jest pochodną wektora ${\vec {r}}$ wodzącego ciała względem czasu. Używając reguły łańcuchowej dla kilku zmiennych, otrzymamy

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.$

Energię kinetyczną można więc w ogólnym przypadku zapisać w postaci:

$T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}.$

Przemieniając składniki, otrzymamy

$T=T_{0}+T_{1}+T_{2}{:}$

$T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2},$

$T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i},$

$T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},$

gdzie $T_{0},$ $T_{1},$ $T_{2}$ są odpowiednio funkcjami jednorodnymi stopnia 0, 1, oraz 2 współrzędnych uogólnionych.

Energia kinetyczna układu skleronomicznego

Jeżeli układ jest skleronomiczny, to wektor położenia układu nie jest jawną funkcją czasu, czyli

${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0.$

Dlatego jedynie składnik $T_{2}$ nie zeruje się:

$T=T_{2}.$

Energia kinetyczna układu skleronomicznego jest więc jednorodną funkcją II stopnia współrzędnych uogólnionych.

Zobacz też

• mechanika Lagrange’a
• więzy, w tym: holonomiczne, nieholonomiczne, katastyczne, akastyczne itd.

Bibliografia

• Grzegorz Białkowski: Mechanika klasyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975.
• Jerzy Leyko, Mechanika Ogólna. Tom 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.