Otwórz menu główne

Lagranżjan (inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania charakteryzująca właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Mechanika klasycznaEdytuj

W nierelatywistycznej mechanice klasycznej Lagranżjan zdefiniowany jest wzorem:

 

gdzie:

  – energia kinetyczna,
  – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan ma podstawowe znaczenie w sformułowaniu zasady najmniejszego działania. Mianowicie, ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii   opisującej zależność położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej od czasu. Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, że funkcjonał   nazywany działaniem, obliczony w przestrzeni wszystkich możliwych funkcji   jest stacjonarny, czyli nie zmienia swojej wartości przy nieskończenie małej zmianie (wariacji) toru (np. jest tak w otoczeniu ekstremali funkcjonału). Funkcjonał ten ma postać całki po czasie:

 

We wzorze tym   oznacza lagranżjan, a   oznacza pochodną   po czasie.

Teoria polaEdytuj

W teorii pola Lagranżjan jest całką po współrzędnych przestrzennych   z gęstości lagranżjanu   (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

 

gdzie:

  •  czterowektor położenia punktu w czasoprzestrzeni,
  •   – współrzędna czasowa,
  •   – wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni  
  •  
  •  kowariantny czterowektor pochodnych cząstkowych pola.

Zobacz teżEdytuj