Lagranżjan

Lagranżjan (inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania $S$ charakteryzująca właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Mechanika klasyczna

W nierelatywistycznej mechanice klasycznej lagranżjan zdefiniowany jest wzorem:

$L(q(t),{\dot {q}}(t),t)=T(q(t),{\dot {q}}(t),t)-U(q(t),{\dot {q}}(t),t),$

gdzie:

$T$ – energia kinetyczna,

$U$ – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan ma podstawowe znaczenie w sformułowaniu zasady najmniejszego działania. Mianowicie, ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii $q(t)$ opisującej zależność położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej od czasu. Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, że funkcjonał $S$ nazywany działaniem, obliczony w przestrzeni wszystkich możliwych funkcji $q(t),$ jest stacjonarny, czyli nie zmienia swojej wartości przy nieskończenie małej zmianie (wariacji) toru (np. jest tak w otoczeniu ekstremali funkcjonału). Funkcjonał ten ma postać całki po czasie:

$S[q]=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt,$

We wzorze tym $L(q(t),{\dot {q}}(t),t)$ oznacza lagranżjan, a ${\dot {q}}$ oznacza pochodną $q$ po czasie.

Teoria pola

W teorii pola lagranżjan jest całką po współrzędnych przestrzennych $x^{1},x^{2},x^{3}$ z gęstości lagranżjanu ${\mathcal {L}}$ (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

$L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}(\varphi (x^{\mu }),\partial _{\mu }\varphi (x^{\mu }),x^{\mu }),$

gdzie:

• $x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(x^{0},{\vec {x}})$ – czterowektor położenia punktu w czasoprzestrzeni,
• $x^{0}=c\,t$ – współrzędna czasowa,
• $\varphi (x^{\mu })$ – wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni $x^{\mu },$
• $\int d^{3}x\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }dx^{1}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{2}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{3},$
• $\partial _{\mu }\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x^{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{3}}}\right)$ – kowariantny czterowektor pochodnych cząstkowych pola.

Zobacz też

• grawitacyjna całka działania
• hamiltonian
• mnożniki Lagrange’a
• równania Eulera-Lagrange’a