Hipoteza Poincarégo

udowodniona hipoteza w topologii

Hipoteza Poincarégohipoteza dotycząca 3-wymiarowych rozmaitości topologicznych sformułowana w pracach Henriego Poincarégo w roku 1904[1]. Przez niemal sto lat nie udawało się jej dowieść ani obalić. Była jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya w roku 2000.

Dowód potwierdzający prawdziwość hipotezy zawarty jest w pracach rosyjskiego matematyka Grigorija Perelmana dotyczących hipotezy geometryzacyjnej Thurstona, opublikowanych w roku 2002 i 2003[2][3]. Prace Perelmana zostały zweryfikowane w roku 2006. Magazyn Science przyznał ostatecznemu rozstrzygnięciu hipotezy nagrodę „Breakthrough of the Year” roku 2006[4].

Hipoteza edytuj

Każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową, czyli brzegiem czterowymiarowej kuli.[5]

Uogólniona hipoteza edytuj

Ogólniejsza wersja hipotezy sformułowana została przy użyciu terminów topologii algebraicznej:

Każda n-wymiarowa rozmaitość bez brzegu, zwarta i mająca typ homotopijny n-wymiarowej hipersfery jest homeomorficzna z n-wymiarową hipersferą.

Dla wymiaru 1 (czyli dla okręgu) i 2 (czyli dla sfery) dowody znane były od lat. Stephen Smale podał w 1961 dowód dla wymiarów większych niż 4, Michael Freedman w roku 1982 dla wymiaru 4[1].

Przypisy edytuj

  1. a b Poincarégo hipoteza, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-30].
  2. Przytycki 2010 ↓, s. 53.
  3. Tajemniczy geniusz z Petersburga - Rzeczpospolita
  4. Donald Kennedy, Breakthrough of the Year, „Science”, 314 (5807), 2006, s. 1841–1841, DOI10.1126/science.1138510, ISSN 0036-8075 [dostęp 2024-05-06] (ang.).
  5. Ciesielski i Pogoda 2005 ↓, s. 210.

Bibliografia edytuj

Linki zewnętrzne edytuj