Twierdzenie Talesa

o przecięciu ramion kąta prostymi równoległymi

Twierdzenie Talesa – jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu[1][2]. Jest też ważnym twierdzeniem geometrii afinicznej.

TwierdzenieEdytuj

 
Proste równoległe przecinają ramiona kąta
 
Proste równoległe przecinają ramiona kątów wierzchołkowych

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi nieprzechodzącymi przez wierzchołek kąta, to odpowiednie odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta[1][2].

Przy oznaczeniach na rysunku obok.

Jeśli  

to zachodzi każda z trzech równości:

 [1][2].

Trzy równości można połączyć w jedną potrójną równość:

 [1][2]
Uwaga 1.

Twierdzenie zachodzi również, jeśli proste równoległe przecinają ramiona kątów wzajemnie wierzchołkowych.

Uwaga 2.

Twierdzenie może być sformułowane bez użycia pojęcia kąta:

Jeśli wiązka prostych parami równoległych przecina dwie nierównoległe do siebie proste   to odpowiednie odcinki wyznaczone przez tę wiązkę na prostej   są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez tę wiązkę na prostej  

lub jeszcze ogólniej

Rzutowanie równoległe zachowuje proporcje długości na prostych, tzn. stosunek długości odcinków współliniowych jest niezmiennikiem rzutowania równoległego.

Twierdzenie odwrotneEdytuj

Zachodzi również następujące odwrotne twierdzenie[3].

Jeśli ramiona kąta o wierzchołku   przecięte są dwiema prostymi   przy czym punkty   należą do jednego ramienia kąta, punkty   do drugiego oraz:

 

to   tzn. proste   są równoległe[2].

Uwaga

Gdyby warunek w założeniu zastąpić np. następującym:

 

to założenia należałoby uzupełnić o informacje o uporządkowaniu punktów, np.

punkt   leży między punktami   punkt   leży między punktami  

DowodyEdytuj

Dowód na gruncie geometrii syntetycznejEdytuj

(szkic) twierdzenie Talesa można dowieść korzystając z przejścia granicznego i dobrze określonej miary (np. Lebesgue’a na płaszczyźnie): stosunkowo łatwy jest dowód, gdy   podobnie gdy podzieli się odcinki w stosunku wymiernym, przypadek niewymierny dowodzi się przez przybliżenia za pomocą przejścia granicznego.

Dowód na gruncie geometrii afinicznejEdytuj

Niech wektory   będą liniowo niezależne i niech dla pewnych   tzn.  

Jeśli   czyli   dla pewnego   to

 

Przyrównując skrajne wyrażenia, redukując i porządkując:

 

Ponieważ   są liniowo niezależne, więc   czyli   Stąd

 

Odwrotnie, jeśli   czyli   to

 

Stąd

 

Dowód EuklidesaEdytuj

Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa.

Dowód oparty jest na dwóch lematach:

  1. Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw.
  2. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.
Dowód

Niech   oznacza pole powierzchni trójkąta  

Trójkąty   i   mają wspólną wysokość   więc na mocy lematu 1.:

 

Dodatkowo trójkąty   i   mają wspólną podstawę   i równe wysokości   dlatego na mocy lematu 2:

  stąd  

Trójkąty   i   mają wspólną wysokość, więc zgodnie z lematem 1:

 

Przyrównując do siebie te równości otrzymuje się

 

co kończy dowód.

Uwaga

W powyższym rozumowaniu korzysta się z faktu, iż pole trójkąta liczone dla jednego boku jako podstawy i opuszczonej na niego wysokości jest równe polu liczonemu dla innego boku jako podstawy i opuszczonej na ten bok wysokości. Jest to dość silna własność funkcji pola (wyżej korzysta się z niej w drugim zdaniu dowodu), jednak nie jest ona niezbędna do dowiedzenia twierdzenia Talesa i w szkolnej matematyce cicho się ją zakłada. Notabene własność tę można udowodnić właśnie z twierdzenia Talesa. To prowadzi do błędnego koła.

WniosekEdytuj

 
proste równoległe przecinają ramiona kąta

Przy oznaczeniach na rysunku obok.

Jeśli  

to zachodzi każda z dwóch równości:

 

Dwie równości można połączyć w jedną potrójną równość:

 

ZastosowaniaEdytuj

Podział odcinka w danym stosunkuEdytuj

Poniższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, utożsamiane przez Greków z liczbami.

Zadanie
Dane są dwa odcinki o długościach   i   Dany odcinek   podziel w stosunku  

 

Rozwiązanie
Z punktu   należy poprowadzić dwie niewspółliniowe półproste. Na jednej z nich odkładamy kolejno długości   i   a na drugiej odcinek   Prowadzimy prostą przez punkt leżący w odległości   na pierwszej półprostej oraz punkt   leżący na drugiej, a następnie prostą do niej równoległą przechodzącą przez punkt leżący na drugiej półprostej w odległości   od punktu   która wyznacza na prostej   punkt   Punkt ten dzieli odcinek   w stosunku   gdyż z twierdzenia Talesa wynika, że  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d Twierdzenie Talesa, Naukowiec.org [dostęp 2017-06-25] (pol.).
  2. a b c d e Twierdzenie Talesa, www.math.edu.pl [dostęp 2017-06-25].
  3. Talesa twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-30].

Linki zewnętrzneEdytuj