Geometria uporządkowania

Geometria uporządkowania – geometria, której jedynymi pojęciami pierwotnymi są punkty oraz trzyargumentowa relacja leżenia między [1]. W geometrii tej, podobnie jak w geometrii rzutowej, pomija się pojęcie odległości (metryki). Geometria uporządkowania jest bazą dla geometrii absolutnej i geometrii afinicznej[2] (ale nie dla geometrii rzutowej).

Aksjomatyka geometrii uporządkowaniaEdytuj

Według Coxetera[3].

Pojęcia pierwotneEdytuj

  1. zbiór, którego elementy są nazywane punktami i oznaczane      
  2. relacja trójargumentowa na punktach   odczytywana „punkt   leży między punktami   i  ”.

DefinicjeEdytuj

 
Podział prostej   punktami   i   na odcinek otwarty (fioletowy) i dwa promienie:   (zielony) i   (czerwony; punkty   i   nie należą do żadnego z trzech zbiorów podziału)
  1. Odcinek otwarty   jest zbiorem wszystkich takich punktów   że  
  2. Odcinek domknięty   jest sumą odcinka otwartego   i zbioru  
  3. Promień  [4] jest zbiorem wszystkich takich punktów   że   Promień   nie zawiera punktu  
  4. Prosta   jest sumą odcinka domkniętego   i promieni   i  
  5. Jeżeli punkty     i   nie leżą na jednej prostej (czyli są niewspółliniowe), to definiują one trójkąt   który składa się z trzech wierzchołków     i   oraz trzech boków będących odcinkami otwartymi     i  
  6. Jeżeli     i   są trzema niewspółliniowymi punktami, to płaszczyzna   jest zbiorem wszystkich punktów współliniowych z parami punktów leżących na jednym lub na dwóch bokach trójkąta  

AksjomatyEdytuj

 
Aksjomat Pascha w geometrii uporządkowania (siódmy w spisie)
  1. Istnieją co najmniej dwa punkty.
  2. Jeżeli   i   są dwoma różnymi punktami, to istnieje co najmniej jeden punkt   dla którego  
  3. Jeżeli   to  
  4. Jeżeli   to   ale nie  
  5. Jeżeli   i   są różnymi punktami na prostej   to   znajduje się na prostej  
  6. Jeżeli   jest prostą, to istnieje punkt   nie leżący na tej prostej.
  7. Jeżeli   jest trójkątem oraz zachodzą relacje   i   to na prostej   znajduje się punkt   dla którego   (Aksjomat Pascha).
  8. Wszystkie punkty leżą w tej samej płaszczyźnie[5].
  9. Dla każdego podziału zbioru wszystkich punktów prostej na dwa niepuste zbiory, takie że żaden punkt jednego nie leży między dwoma punktami drugiego, istnieje punkt należący do jednego zbioru, który leży między każdym innym punktem tego zbioru a każdym punktem drugiego zbioru (Aksjomat ciągłości, zw. też pewnikiem Dedekinda).

Najprostsze własnościEdytuj

 
W każdym odcinku otwartym   można znaleźć jakiś punkt  
  • Jeżeli   to nie  

Dowód. Gdyby   to na mocy aksjomatu 4. nie   wbrew założeniu, co dowodzi tezy.

  • Jeżeli   to punkty     i   są różne.

Dowód. Gdyby   to na podstawie aksjomatu 4. byłoby jednocześnie   i nie   czyli sprzeczność. Jeżeli   na mocy aksjomatu 4.   czyli jednocześnie   i nie   czyli jednocześnie   i nie   co jest sprzeczne. Zatem     Ponieważ z aksjomatu 3.   więc wszystkie punkty są różne.

Z aksjomatu 5. wynika twierdzenie:

  • Jeżeli   i   są różnymi punktami na prostej   to proste   i   są identyczne.

Pociąga ona za sobą ważne własności prostych:

  • Dwa różne punkty leżą na dokładnie jednej prostej.
  • Dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny.
  • Jeśli punkty     i   leżą na jednej prostej, to spełniona jest jedna z relacji     lub  

Z aksjomatu 6. wynika, że:

  • Jeśli     i   nie leżą na jednej prostej, to proste     i   są różne.
  • Dla dowolnych dwóch punktów   i   istnieje taki punkt   że  

Dowód. Z aksjomatu 6. wynika, że istnieje punkt   nienależący do prostej   (zielona prosta na rysunku). Z aksjomatu 2. wynika, że istnieje taki punkt   że   oraz taki punkt   że   Na podstawie aksjomatu 7. istnieje na prostej   taki punkt   że  

Definicja afiniczna geometrii uporządkowania na płaszczyźnieEdytuj

Emil Artin w swojej książce Algebra geometryczna zaproponował nieco inne podejście do geometrii uporządkowania, bardziej użyteczne przy algebraicznym ujęciu problemu:

Płaszczyznę nazywamy uporządkowaną, jeśli:

  1. Zbiór punktów na każdej prostej jest liniowo uporządkowany.
  2. Rzut równoległy punktów jednej prostej na drugą prostą albo zachowuje uporządkowanie, albo zmienia je na przeciwne[6].

Podstawowym wynikiem w tak rozwijanej geometrii uporządkowania jest następujące twierdzenie:

Geometria uporządkowania na płaszczyźnie kanonicznie indukuje ciało słabo uporządkowane   a słabe uporządkowanie ciała   kanonicznie indukuje geometrię uporządkowania[7].

PrzypisyEdytuj

  1. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 195.
  2. Coxeter, op. cit., s. 194.
  3. Coxeter, op. cit., s. 194–196, 203, 205.
  4. Promień   (wychodzący z punktu   i nieprzechodzący przez punkt  ) nazywany jest często półprostą  
  5. Geometrię uporządkowania można rozszerzyć na przestrzeń. Potrzebne są jednak wtedy dwa dodatkowe aksjomaty: istnienia punktu poza płaszczyzną i zawierania się wszystkich punktów w przestrzeni. Coxeter, op. cit., s. 203.
  6. Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LTD., 1957., tłum. ros. 1969, s. 106.
  7. Artin, op. cit., s. 106.

BibliografiaEdytuj

  • Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LTD, 1957.