Ciało słabo uporządkowane

Ciało słabo uporządkowane – ciało $K$ o co najmniej trzech elementach, w którym określona jest binarna relacja porządkująca liniowo $a<b$ spełniająca następujące aksjomaty:

1. Dla dowolnego ustalonego elementu $a\in K$ odwzorowanie $x\mapsto x+a$ albo zachowuje, albo odwraca porządek w ciele $K$.
2. Dla dowolnego ustalonego $a\in K^{*}$ odwzorowanie $x\mapsto xa$ albo zachowuje, albo odwraca porządek w ciele $K$.

Mówimy, że w ciele słabo uporządkowanym elementy $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ tworzą łańcuch, jeśli $a_{1}<a_{2}<\dots <a_{n}$ lub $a_{n}<\dots <a_{2}<a_{1}.$ Aksjomaty oznaczają, że oba przekształcenia odwzorowują łańcuch na łańcuch. Założenie, że ciało ma więcej niż dwa elementy oznacza, że są w nim co najmniej dwa łańcuchy.

Własności

• $K$ nie może być ciałem charakterystyki 2.

Dowód. Jeśli $0,a,b$ są trzema różnymi elementami ciała słabo uporządkowanego $K$ o charakterystyce 2. Do rozważenia są dwa przypadki:

i) Jeżeli tworzą one łańcuch $0,a,b,$ to jeśli do każdego elementu łańcucha doda się $a,$ to otrzyma się łańcuch $a,0,a+b,$ a jeśli element $b,$ to otrzyma się łańcuch $b,a+b,0,$ co daje łańcuch $a,0,a+b,b,$ który jest sprzeczny z łańcuchem wyjściowym.

ii) Jeżeli tworzą one łańcuch $a,0,b,$ to jeśli do każdego elementu łańcucha doda się $a,$ to otrzyma się łańcuch $0,a,a+b,$ a jeśli element $b,$ to otrzyma się łańcuch $a+b,b,0.$ Zatem elementy tworzą albo łańcuch $0,a,b,a+b,$ albo łańcuch $0,b,a,a+b.$

W obu przypadkach otrzymujemy sprzeczność z łańcuchem wyjściowym. Zatem ciało $K$ nie może mieć charakterystyki 2.

• Ciało słabo uporządkowane jest ciałem uporządkowanym.

Związek z geometrią uporządkowania

Ciała słabo uporządkowane są kanonicznie związane z możliwymi geometriami uporządkowania na płaszczyźnie:

• Geometria uporządkowania na płaszczyźnie kanonicznie indukuje słabo uporządkowane ciało $K,$ a słabo uporządkowane ciało $K$ indukuje kanonicznie uporządkowanie na płaszczyźnie.

Zobacz też

• ciało uporządkowane
• geometria uporządkowania
• Zgodność relacji z działaniem

Bibliografia

• Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.).brak strony w książce