Twierdzenie Menelaosa

Twierdzenie z zakresu geometrii euklidesowej
Menelaos's theorem 1.png

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii, choć znane było już wcześniej. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

TreśćEdytuj

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta   i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty   w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli

 

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

  skrótowo zapisywane zwykle jako  

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

 

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

DowódEdytuj

Niech   będzie przecięciem prostej równoległej do   przechodzącej przez punkt   z poprzeczną. Trójkąty   i   są podobne. Z twierdzenia Talesa:

  czyli  

Trójkąty   i   są podobne. Zatem jest:

  czyli  

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

 

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty   leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

Twierdzenie odwrotneEdytuj

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach   i   trójkąta   dane są punkty   i   a na przedłużeniu boku   punkt   tak, że:
 
to punkty  współliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty   leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

DowódEdytuj

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

  (1)

oraz   leżą na bokach trójkąta, zaś   na prostej   poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt   że   są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

 

Zatem dla dwóch różnych punktów   leżących na prostej   poza odcinkiem   zachodzi

 

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty   spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.

Twierdzenie Menelaosa dla czworościanu[1]Edytuj

Niech   oznaczają punkty przecięcia pewnej płaszczyzny z krawędziami czworościanu   leżące odpowiednio na odcinkach   Wówczas zachodzi równość:

 

Dowód polega na zrzutowaniu wierzchołków czworościanu na przecinającą go płaszczyznę, skorzystania z podobieństwa par trójkątów prostokątnych złożonych z wierzchołków leżących na danej krawędzi, ich rzutów i punktu przecięcia krawędzi i płaszczyzny, a następnie pomnożenia uzyskanych równości tak by po jednej stronie uzyskać wyrażenie z tezy.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

 

to punkty   leżą na jednej płaszczyźnie, jest również prawdziwe.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.