Twierdzenie Menelaosa

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii^[1], choć znane było już wcześniej. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

Treść

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta $\triangle ABC$ i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty $D,E,F$ w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli^[2]

|AE|\cdot |CD|\cdot |BF|=|BD|\cdot |AF|\cdot |CE|.

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

A\to E\to C\to D\to B\to F\to A

skrótowo zapisywane zwykle jako

^{A}{}_{E}{}^{C}{}_{D}{}^{B}{}_{F}{}^{A},

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

{\frac {|AE|}{|EC|}}\cdot {\frac {|CD|}{|DB|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FA|}}=1.

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

Dowód

Niech $X$ będzie przecięciem prostej równoległej do $AC$ przechodzącej przez punkt $B$ z poprzeczną. Trójkąty $\triangle XBF$ i $\triangle EAF$ są podobne. Z twierdzenia Talesa:

{\frac {|BX|}{|AE|}}={\frac {|BF|}{|FA|}},

czyli

|XB|={\frac {|BF|}{|FA|}}\cdot |AE|

Trójkąty $\triangle CED$ i $\triangle BXD$ są podobne. Zatem jest:

{\frac {|CE|}{|XB|}}={\frac {|DC|}{|DB|}},

czyli

{\frac {1}{|XB|}}={\frac {|DC|}{|DB|}}\cdot {\frac {1}{|CE|}}

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

1={\frac {|BF|}{|FA|}}\cdot {\frac {|DC|}{|DB|}}\cdot {\frac {|AE|}{|CE|}},

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty $D,E,F$ leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach

AB

i

BC

trójkąta

\triangle ABC

dane są punkty

E

i

D,

a na przedłużeniu boku

AC

punkt

F

tak, że:

|AE|\cdot |CD|\cdot |BF|=|BD|\cdot |AF|\cdot |CE|,

to punkty

D,E,F

są współliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty $D,E,F$ leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

Dowód

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

|AE|\cdot |CD|\cdot |BF|=|BD|\cdot |AF|\cdot |CE|

(1)

oraz $D,E$ leżą na bokach trójkąta, zaś $F$ na prostej $AB$ poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt $F'\neq F,$ że $D,E,F'$ są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

|AE|\cdot |CD|\cdot |BF'|=|BD|\cdot |AF'|\cdot |CE|.

Zatem dla dwóch różnych punktów $F,F'$ leżących na prostej $AB$ poza odcinkiem $AB$ zachodzi

{\frac {|AF'|}{|BF'|}}={\frac {|AF|}{|BF|}},

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty $D,E,F$ spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.