Twierdzenie Talesa o kącie wpisanym

o okręgu i trójkącie prostokątnym
Ten artykuł dotyczy twierdzenia o okręgu i trójkącie prostokątnym. Zobacz też: Twierdzenie Talesa o przecięciu ramion kąta równoległymi prostymi.

Twierdzenie Talesa dla okręgu – szczególny przypadek twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym mówiące, że jeśli A, B i C są punktami na okręgu gdzie odcinek AC jest średnicą, to kąt ABC jest prosty[1]. Twierdzenie to w tej postaci jest przypisywane Talesowi[2] według greckiego pisarza Diogenesa Laertiosa[3].

Ilustracja twierdzenia

Nazwa „twierdzenie Talesa” jest najczęściej używana w krajach anglosaskich, choć Tales nie był pierwszym, który dokonał tego odkrycia. Są fakty świadczące o tym, że z twierdzenia tego korzystali Egipcjanie i Babilończycy, mimo to nie ma przekazów mówiących, że potrafili je udowodnić. Twierdzenie w krajach anglosaskich nosi nazwisko Talesa, ponieważ był on pierwszym, który je udowodnił korzystając z własnych wniosków wskazujących, że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe i suma kątów w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu.

DowódEdytuj

 
Kąt ABC oparty na średnicy AC jest prosty
 
Ilustracja dowodu

Korzystamy z następujących własności:

Niech O jest środkiem okręgu. Ponieważ OA = OB = OC, OAB i OBC są trójkątami równoramiennymi, korzystając z własności, że kąty przy podstawach trójkątów równoramiennych są przystające, OBC = OCB i BAO = ABO. Niech α = BAO i β = OBC. Trzy wewnętrzne kąty trójkąta ABC to α, α + β i β. Ponieważ suma kątów wewnętrznych w trójkącie równa się kątowi półpełnemu zachodzi

 

co daje

 

lub prościej

 

q.e.d.

Twierdzenie odwrotneEdytuj

Twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe. Mówi ono, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na nim.

Jeśli połączymy oba twierdzenia (wprost z odwrotnością), to otrzymamy że:

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z jego boków wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt jest prostokątny.

ZastosowanieEdytuj

 
Konstrukcja stycznej do okręgu.

Twierdzenie może być zastosowane do konstrukcji stycznej do danego okręgu, która przechodzi przez zadany punkt (zobacz ilustrację). Mając dany okrąg k, o środku O, i punkt P na zewnątrz okręgu, chcemy wyznaczyć (czerwoną) styczną do k, która przechodzi przez P. Załóżmy, że (jeszcze nieznana) styczna t ma punkt wspólny z okręgiem w T. Z symetrii jasno wynika, że promień OT jest prostopadły do stycznej. Wyznaczając środek H odcinka pomiędzy O i P, wykreślamy okrąg o środku H zawierający punkty O i P. Na przecięciu się tego okręgu z danym okręgiem k otrzymujemy punk T. Z twierdzenia Talesa dla okręgu wynika, że punkt na k tworzy trójkąt prostokątny OTP.

Ponieważ oba okręgi mają dwa punkty wspólne, wyznaczone zostają obie styczne.

UogólnienieEdytuj

Twierdzenie Talesa dla okręgu jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia:

Dla trzech punktów A, B i C leżących na okręgu o środku O, kąt AOC jest dwa razy większy niż kąt ABC.

Zobacz kąt wpisany. Dowód jest bardzo podobny do dowodu twierdzenia podanego powyżej.

PrzypisyEdytuj

  1. Elementy „Księga III” Twierdzenie 31.
  2. T.L. Heath, A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid, t. I, Oxford, 1921, s. 131 (ang.).
  3. Edward Kofler, Z dziejów matematyki, Warszawa: Wiedza Powszechna, 1956, s. 125.

Linki zewnętrzneEdytuj