Całkowy sinus hiperboliczny – funkcja specjalna zdefiniowana jako:
![{\displaystyle \mathrm {shi} \,(x)\;{\stackrel {\mathrm {df} }{=}}\,\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sinh \,(t)}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593b7f9ae8f3285b2b4acfdaf49d7efe478acb8e)
gdzie
jest sinusem hiperbolicznym. Funkcja podcałkowa ma dla
ma punkt osobliwy i za jej wartość przyjmuje się granicę
Niektóre własności i zależności:
![{\displaystyle \mathrm {shi} \,(-x)=-\mathrm {shi} \,(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6173c4e51fdd971ee76664c9ccf0ad99389684a1)
![{\displaystyle i\cdot \mathrm {shi} \,(x)=\mathrm {Si} \,(ix)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc14fd1ecfec57f34183a1b60d88605871a8e55)
![{\displaystyle \mathrm {shi} (x)={\tfrac {x}{1\cdot 1!}}+{\tfrac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\tfrac {x^{5}}{5\cdot 5!}}+{\tfrac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e5b802f75a292b894c12ba695999176963d25e)
![{\displaystyle \mathrm {shi} \,(x)={\frac {\mathrm {Ei} (x)-\mathrm {Ei} (-x)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d468d53f3cb695da5b8b9aedd6e50b1426568b7)
gdzie
jest funkcją całkowo-wykładniczą, zaś
jest sinusem całkowym.
Całkowy sinus hiperboliczny występuje w rozwiązaniach równań różniczkowych opisujących niektóre zjawiska w ośrodkach ciągłych (np. przepływ cieczy nienewtonowskich w rurach i szczelinach).