Otwórz menu główne

Trygonometryczne wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 90° do 180°

W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta. Korzystając z miary stopniowej należy w poniższych wzorach podstawić 180° w miejsce π.

Sinus i cosinusEdytuj

   
   
   
   
   
   
   
   
   

Tangens i cotangensEdytuj

   
   
   
   
   

Podawanie wzorów typu   nie jest potrzebne, bo okresem funkcji tangens i cotangens jest π.

Wzory redukcyjne można wywieść z symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Mianowicie, wykres funkcji sinus jest środkowo symetryczny względem dowolnego punktu osi OX o współrzędnej postaci kπ i osiowo symetryczny względem dowolnej prostej o równaniu x = π/2 + kπ. Dla cosinusa odpowiednie symetrie wypadają dla x =π/2 + kπ oraz x = kπ. Dla tangensa i cotangensa mamy jedynie symetrie środkowe odpowiednio względem punktów x=kπ oraz x=π/2 + kπ.

Interpretacja na wykresieEdytuj

Wykresy pozwalają też na wyobrażenie sobie (i szybkie odtworzenie w pamięci lub na kartce) wzorów redukcyjnych.

1. W tym celu trzeba tylko zapamiętać jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych. Następnie przekształcamy wykres tej funkcji, którą mamy obliczyć:

  • jeśli w argumencie jest   gdzie   jest równe np.       lub   to przesuwamy wykres odpowiedniej funkcji o   w lewo.
  • jeśli w argumencie jest   to przesuwamy wykres o   w prawo.
  • jeśli w argumencie jest   to przesuwamy wykres o   w lewo i odbijamy wykres symetrycznie względem osi OY.

2. Jeśli przed funkcją stoi minus, odbijamy wykres względem osi OX.

3. Na koniec spoglądamy na powstały wykres w miejscu, w którym przecina oś OY:

  • Jeśli przecina ją w punkcie   to wynikiem jest  
  • Jeśli przecina ją w punkcie   to wynikiem jest  
  • Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i rośnie, to wynikiem jest   (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub   (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
  • Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i maleje, to wynikiem jest   (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub   (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
  • Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do   rośnie, to wynikiem jest  
  • Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do   maleje, to wynikiem jest  

Przykłady zastosowaniaEdytuj

Dla odmiany użyta zostanie miara stopniowa. Należy pamiętać, że funkcje trygonometryczne są okresowe – jeżeli miara kąta przekracza 360° można wyodrębnić z niej wielokrotność 360° i przeprowadzać obliczenia dla pozostałej części.

 

 

 

  

W obu ostatnich przykładach pominięto okres funkcji.

Zobacz teżEdytuj