Porządek ciągły

Porządek ciągły – własność porządków liniowych po raz pierwszy rozważana przez Richarda Dedekinda w 1872[1]; jest ona wzmocnieniem zupełności i w terminach topologicznych jest równoważna spójności topologii przedziałowej.

NazwaEdytuj

Nazwa porządek ciągły wskazuje na motywację, jaką było opisanie i konstrukcja prostej rzeczywistej jako obiektu ciągłego podana przez Dedekinda w jego pracy z 1872[2]. Wprowadzone przez niego warunki (i)-(iv) są, we współczesnym języku, stwierdzeniem że porządek liczb rzeczywistych jest ciągły (a kluczowa własność (iv) ma właśnie nazwę ciągłości).

W literaturze polskojęzycznej termin ten jest używany dość systematycznie[3][4][5]. We współczesnej literaturze angielskojęzycznej częściej używa się bardziej opisowego określenia gęsty zupełny porządek liniowy (complete dense linear order).

Porządek ciągły to taki gęsty porządek liniowy A w którym żadne właściwe cięcie w A nie ustala skoku w danym zbiorze A. Brak skoków jest powodem dla którego mówimy, że zbiór jest uporządkowany ciągle.

Definicje formalneEdytuj

Niech   będzie porządkiem liniowym.

  • Porządek   jest porządkiem gęstym jeśli A ma przynajmniej dwa elementy oraz między dowolnymi dwoma elementami A znajduje się trzeci element, tzn.
 
  • Podzbiór   porządku A jest ograniczony z góry jeśli można znaleźć element   większy niż wszystkie elementy zbioru B, tzn. taki że
 
Analogicznie podzbiór   jest ograniczony z dołu jeśli można znaleźć element   taki że
 
  • Porządek   jest ciągły jeśli jest to porządek gęsty oraz każdy podzbiór ograniczony, tzn. ograniczony z góry i z dołu, ma zarówno kres górny, jak i dolny.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Richard Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen, 1872.
  2. Richard Dedekind: Essays on the Theory of Number. Tłumaczenie angielskie essejów Stetigkeit und Irrationale Zahlen i Was sind und was sollen die Zahlen?: W.W. Beman. The Open Court Publishing Company, Londyn 1924. Strony 19-20.
  3. Zenon Moszner: O teorii relacji, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1974, s. 139.
  4. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej, „Biblioteka Matematyczna”, tom 30. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973, s. 136.
  5. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005, s. 182, ​ISBN 83-01-14415-7​.

Linki zewnętrzneEdytuj