Porządek zupełny
Porządek zupełny – własność porządków częściowych postulująca istnienie kresów. W literaturze matematycznej istnieje kilka definicji tego pojęcia różniących się szczegółami technicznymi zależnymi od kontekstu matematycznego.
Zupełność porządków liniowych
edytujW teorii mnogości pojęcie zupełności rozważa się zwykle dla porządków liniowych. Własność ta stwierdza, że żaden przekrój Dedekinda w danym porządku nie wyznacza "luki" i była ona wprowadzona przez Richarda Dedekinda w 1872[1][2]. Z tego powodu czasami mówi się o porządkach zupełnych w sensie Dedekinda.
Niech będzie porządkiem liniowym. Powiemy, że porządek jest zupełny jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór ma kres górny. Równoważnie, porządek liniowy jest zupełny jeśli każdy jego niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
Kraty zupełne
edytujKrata jest zupełna jeśli, kiedy rozważamy ją jako zbiór częściowo uporządkowany, każdy jej podzbiór ma kres górny oraz kres dolny.
Niektórzy autorzy[3] formułują tę definicję dla porządków częściowych, określając porządki zupełne jako takie, w których każdy podzbiór ma oba (górny i dolny) kresy. Porządek zupełny jest wtedy tym samym co krata zupełna.
Zupełność posetów
edytujW teorii porządków częściowych rozważa się następującą definicję zupełności[4] motywowaną zastosowaniami w teoretycznej informatyce.
Niech będzie porządkiem częściowym.
- Niepusty podzbiór jest skierowany jeśli każde dwa elementy zbioru mają wspólne ograniczenie górne w tym zbiorze.
- Powiemy, że porządek jest zupełny jeśli ma on element najmniejszy oraz każdy podzbiór skierowany ma kres górny.
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ Richard Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen. 1872.
- ↑ Eseje Stetigkeit und Irrationale Zahlen i Was sind und was sollen die Zahlen? zostały w wersji angielskiej wydane w Richard Dedekind: Essays on the Theory of Number. tłum: W. W. Beman. Londyn: The Open Court Publishing Company, 1924, s. 19-20.
- ↑ Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), 1978, s. 93, seria: Monografie Matematyczne 27.
- ↑ Jerzy Tiuryn: Wstęp do teorii mnogości i logiki. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Uniwersytet Warszawski, 1997.PostScript dostępnym ze strony autora. Strona 64 w pliku