Przekrój Dedekinda

Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.

Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872 w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał:

w każdym przypadku kiedy mamy przekrój $(A_{1},A_{2})$ nieodpowiadający żadnej liczbie wymiernej, wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić, że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.

Definicja

Niech $(X,\leqslant )$ będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru $X$ nazywa się każdą taką parę $(A,B)$ złożoną z niepustych podzbiorów zbioru $X,$ że:

1. $A\cup B=X,$
2. jeżeli $a\in A$ oraz $b\in B,$ to $a<b,$
3. $A\cap B=\varnothing .$

Zbiór $A$ nazywany jest klasą dolną, a zbiór $B$ klasą górną przekroju.

Rodzaje przekrojów

Przypuśćmy, że $(A,B)$ jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym $(X,\leqslant ).$ Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości:

1. zbiór $A$ zawiera element największy, a zbiór $B$ ma element najmniejszy,
2. zbiór $A$ ma element największy, ale w zbiorze $B$ nie istnieje element najmniejszy,
3. w zbiorze $A$ nie ma elementu największego, ale w zbiorze $B$ istnieje element najmniejszy,
4. ani zbiór $A$ nie ma elementu największego ani zbiór $B$ nie ma elementu najmniejszego,

W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój $(A,B)$ wyznacza skok, a w ostatnim przypadku mówimy, że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.

Zobacz też

• aksjomat ciągłości
• częściowy porządek
• konstrukcje liczb rzeczywistych
• praporządek