Przekrój Dedekinda

Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.

Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872[1] w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał:

w każdym przypadku kiedy mamy przekrój nieodpowiadający żadnej liczbie wymiernej, wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić, że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru   nazywa się każdą taką parę   złożoną z niepustych podzbiorów zbioru   że,

  1.  
  2. jeżeli   oraz   to  
  3.  

Zbiór   nazywany jest klasą dolną, a zbiór   klasą górną przekroju.

Rodzaje przekrojówEdytuj

Przypuśćmy, że   jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym   Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości:

  1. zbiór   zawiera element największy, a zbiór   ma element najmniejszy,
  2. zbiór   ma element największy, ale w zbiorze   nie istnieje element najmniejszy,
  3. w zbiorze   nie ma elementu największego, ale w zbiorze   istnieje element najmniejszy,
  4. ani zbiór   nie ma elementu największego ani zbiór   nie ma elementu najmniejszego,

W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój   wyznacza skok, a w ostatnim przypadku mówimy że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. R. Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen, 1872. Tłumaczenie angielskie tego tekstu jest zawarte także w Essays on the Theory of Numbers, tłumaczenie i edycja: W.W. Beman, W.W., Dover 1901, 1963.