Otwórz menu główne

Funkcja półciągła

Półciągłość – własność funkcji określonych w przestrzeniach metryczych o wartościach rzeczywistych, słabsza od ciągłości.

Wykres funkcji półciągłej z dołu w
Wykres funkcji półciągłej z góry w

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią metryczną,   oraz niech dana będzie funkcja

 

Funkcja   jest:

  • półciągła z dołu w punkcie   gdy
 
  • półciągła z góry w punkcie   gdy
 

Funkcja   jest półciągła z góry bądź z dołu w zbiorze   gdy jest półciągła z góry bądź z dołu w każdym punkcie zbioru  

Równoczesna połciągłość z góry i z dołu funkcji jest równoważna warunkowi

 

a zatem ciągłości funkcji   w punkcie   Z własności granic wynika, że   jest półciągła z góry w   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest półciągła z dołu w  

Rozważa się też funkcje półciągłe z góry/z dołu w niemetrycznych przestrzeniach topologicznych.

Warunki równoważneEdytuj

Pod powyższymi założeniami następujące warunki są równoważne półciągłości z dołu funkcji   w punkcie   Warunki równoważne półciągłości z góry formułuje się analogicznie.

  • jeśli   oraz   to  
  • jeśli   to
 
  • jeśli   jest punktem skupienia przestrzeni   to
 
  • dla każdego   istnieje takie   że
 

Definicję półciągłości rozszerza się czasami na dowolne przestrzenie topologiczne w następujący sposób.

Niech   będzie przestrzenią topologiczną oraz   Funkcja

 

jest półciągła z dołu (odpowiednio: z góry) w punkcie   gdy dla każdego   istnieje takie otoczenie otwarte   punktu   że   (odpowiednio:  ) dla każedgo  

WłasnościEdytuj

  • Kombinacja stożkowa funkcji półciągłych z dołu jest półciągła z dołu.
  • Iloczyn nieujemnych funkcji półciągłych z dołu jest półciągły z dołu.
  • Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: Funkcja półciągła z dołu w przestrzeni zwartej osiąga swoje minimum.
  • Twierdzenie Baire’a[1]: Każda funkcja półciągła z dołu w przestrzeni metrycznej   jest granicą rosnącego ciągu funkcji ciągłych.

PrzykładyEdytuj

  • Funkcja   dana wzorem
 
jest półciągła z góry w  
  • Funkcje podłoga i sufit są półciągłe odpowiednio: z góry i z dołu.
  • Funkcja charakterystyczna zbioru otwartego jest półciągła z dołu.
  • Funkcja charakterystyczna zbioru domkniętego jest półciągła z góry.

PrzypisyEdytuj

  1. R. Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, professées au collège de France, Gauthier-Villars, 1905.

BibliografiaEdytuj