Miara zespolona

Miara zespolona – szczególny przypadek przeliczalnie addytywnej miary wektorowej. Przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów, określona na pewnym σ-ciele o wartościach w zbiorze liczb zespolonych. Dla miar zespolonych, podobnie jak dla miar wektorowych, definiuje się pojęcie wahania i półwahania miary zespolonej. Wszystkie twierdzenia prawdziwe dla miar wektorowych przeliczalnie addytywnych (o wartościach w przestrzeni Banacha – gdy to założenie jest potrzebne) są prawdziwe, w szczególności, dla miar zespolonych.

Definicja

Jeśli ${\mathcal {F}}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M,$ to funkcję $\nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {C} ,$ spełniającą warunek

$\nu (\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})$

dla każdego ciągu $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała ${\mathcal {F}},$ nazywamy miarą zespoloną.

Postać biegunowa

Jeżeli $\nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {C}$ jest miarą zespoloną, określoną na σ-ciele podzbiorów zbioru $M,$ to istnieje wówczas funkcja mierzalna $h$ taka, że $|h(x)|=1$ dla $x\in M$ oraz $d\nu =hd|\nu |,$ gdzie $|\nu |$ oznacza wahanie miary zespolonej $\nu .$

Poprzez analogię do przedstawienia liczby zespolonej w postaci iloczynu jej modułu przez liczbę o module równym $1,$ równanie to jest czasem nazywane postacią biegunową (lub rozkładem biegunowym) miary $\nu .$

Bibliografia

• Rudin, W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986, ISBN 83-01-05124-8.