Pas (teoria półgrup)

Pas – półgrupa, której wszystkie elementy są idempotentami. Pasy były badane przez amerykańskiego matematyka A.H. Clifforda.

Przykłady

• Półkraty, gdy patrzeć na nie jak na struktury algebraiczne, to dokładnie pasy przemienne.
• Pasy prostokątne. Niech $X$ i $Y$ będą zbiorami. Na zbiorze $X\times Y$ określamy działanie wzorem $(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1},y_{2}).$ Jest to działanie łączne, więc zadaje ono na $X\times Y$ strukturę półgrupy. Każdy element tej półgrupy jest idempotenty, zatem jest to pas, nazywany pasem prostokątnym. Nazwa bierze się stąd, że jeżeli spojrzymy na $X\times Y$ jako na prostokątną tablice (być może nieskończoną), której wiersze indeksowane są elementami zbioru $X,$ a kolumny elementami zbioru $Y,$ to elementy $(x_{1},y_{1}),\,(x_{2},y_{2})$ i $(x_{1},y_{2})$ stanowią wierzchołki trójkąta prostokątnego. Pasy prostokątne są przeciwieństwem półkrat w następującym sensie. Jeżeli $S$ jest pasem prostokątnym i $a,b\in S$ to zachodzi implikacja $ab=ba\Longrightarrow a=b.$ Mówimy, że pasy prostokątne są nigdzieprzemienne.