Otwórz menu główne

Liczba pierwsza

liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i siebie samą

Liczba pierwszaliczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznacza się symbolem

Wykaz początkowych liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 itd. (ciąg A000040 w OEIS).

W wykazie brak np. liczby 4, bowiem ma ona 3 dzielniki: 1, 2 i 4. Podobnie z liczbą 6, która ma 4 dzielniki: 1, 2, 3 i 6.

Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Liczby 4 i 6 są więc przykładami liczb złożonych.

Z podanych definicji wynika, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone[1].

Podstawowe własnościEdytuj

  • Najmniejszy różny od jedynki dzielnik naturalny liczby naturalnej, większej od jedności, jest liczbą pierwszą.
  • Euklides pokazał, że żaden skończony zbiór nie zawiera wszystkich liczb pierwszych:
    Niech   będzie skończonym zbiorem liczb pierwszych. Niech   będzie iloczynem wszystkich liczb występujących w   (gdy   jest puste, to  ). Jedynym wspólnym dzielnikiem liczb   oraz   jest 1. Zatem żadna liczba pierwsza, występująca w   nie jest dzielnikiem liczby   Ale   Więc   ma dzielnik   który jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza   nie należy do   (bo jest dzielnikiem liczby  ).
  • Każda liczba naturalna większa od 1 daje się jednoznacznie zapisać w postaci iloczynu skończonego niemalejącego ciągu pewnych liczb pierwszych. Twierdzenie to był w stanie udowodnić już Euklides (stworzył niezbędne narzędzia), ale uczynił to dopiero Gauss. Twierdzenie to oznacza, że liczby pierwsze są w pewnym sensie atomami, z których przy pomocy mnożenia zbudowane są pozostałe liczby.

WyznaczanieEdytuj

Aby znaleźć wszystkie liczby pierwsze w zadanym przedziale liczbowym, można posłużyć się algorytmem zwanym sitem Eratostenesa: jeśli liczba naturalna   większa od 1 nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych nie większych od pierwiastka z   to   jest liczbą pierwszą.

 

Metoda dająca odpowiedź na pytanie, czy dana liczba naturalna jest pierwsza, czy nie, nosi nazwę testu pierwszości. Wśród takich metod praktyczne zastosowanie mają testy probabilistyczne, to znaczy takie, które pozwalają określić pierwszość liczby z dostatecznie dużym prawdopodobieństwem np.: test pierwszości Millera-Rabina, test pierwszości Solovaya-Strassena.

Rozkład na czynniki pierwszeEdytuj

Niech   oznacza wykładnik, z którym liczba pierwsza   występuje w rozkładzie liczby naturalnej   (waluacja p-adyczna). Wtedy:

  (wzór Legendre’a),

gdzie   jest jedyną liczbą całkowitą, spełniającą nierówność

 

dla dowolnego rzeczywistego   Liczbę   nazywamy częścią całkowitą liczby rzeczywistej   Powyższa suma jest skończona, gdyż tylko skończona liczba jej składników jest różna od 0 – mianowicie pierwsze   wyrazów.

Literatura: na przykład[2] – rozdział 7.0[3]; – rozdział 6.3, Twierdzenie 6.9.

Rozkład środkowego współczynnika dwumianowegoEdytuj

Zbadajmy     gdy liczba pierwsza   należy do przedziału   Ogólnie:

 

Ponieważ

 

dla dowolnej liczby rzeczywistej   to ze wzoru na   z poprzedniego fragmentu, wynika, że

 

Równość   pozwala powyższą nierówność wyrazić równoważnie jako

 

czyli:

Twierdzenie. Jeżeli   to  

Prawdziwe jest także twierdzenie:

Twierdzenie. Jeżeli   jest liczbą naturalną, oraz   – liczbą pierwszą z przedziału   to   nie jest dzielnikiem współczynnika  

RozmieszczenieEdytuj

 
Liczby pierwsze na spirali Ulama
 
Rozmieszczenie pierwszych 39131 liczb pierwszych

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne, ale nie jest znany żaden wzór, który pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposób bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa.

Kilka poniższych twierdzeń przybliża zagadnienia związane z badaniem rozmieszczenia liczb pierwszych na osi liczbowej.

Szereg odwrotności wszystkich liczb pierwszychEdytuj

Niech   oznacza zbiór liczb pierwszych. Leonhard Euler udowodnił, że szereg liczbowy   odwrotności wszystkich liczb pierwszych jest rozbieżny. Sugeruje to, że liczby pierwsze nie mogą być rozłożone zbyt „rzadko” na osi liczbowej. Rozbieżność tego szeregu daje też nowy dowód na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych.

Dowód twierdzenia Eulera  

Niech

 
 

Ponieważ

 

to

 

dla dowolnego naturalnego   Wystarczy zatem dowieść, że   może być dowolnie wielkie.

Szereg geometryczny:

 

oraz rozkładalność liczb naturalnych na iloczyny liczb pierwszych, daje nierówność

 

Ale   a więc:

 

zatem

 

gdy   Koniec dowodu.

Franz Mertens uzyskał podobne oszacowanie   także od góry.

Oszacowania iloczynu odcinka liczb pierwszychEdytuj

Jasnym jest, że zachodzi podzielność

  oraz równość  

Więc dla n > 1 otrzymujemy:

  Wiemy także, że  

Powyższe współczynniki dwumianowe są składnikami sumy ze wzoru Newtona na   Są więc one mniejsze od   (ostro, bo w sumie Newtona występują też inne składniki). Tak więc mamy nasze pierwsze oszacowanie (od góry) iloczynu odcinka liczb pierwszych:

 

dla   a nawet dla każdego   Bardziej atrakcyjne byłoby oszacowanie iloczynu początkowego odcinka liczb pierwszych

 

Ale przynajmniej możemy powyższą nierówność przepisać w postaci:

 

dla każdego  

 

dla każdego naturalnego  

Twierdzenie
 
dla każdej liczby całkowitej  
Dowód
Można sprawdzić bezpośrednio, że twierdzenie zachodzi dla  

Rozpatrzmy parzyste   Wtedy   Możemy więc indukcyjnie założyć, że twierdzenie zachodzi dla   Zatem korzystając ze wcześniejszego oszacowania iloczynu odcinka (niepoczątkowego), które zachodziło dla każdego   otrzymujemy:

 

Więc indukcja zachodzi dla parzystego przypadku. Dla nieparzystego   mamy   co pozwala nam stosować założenie indukcyjne dla   (oraz znowu wcześniejsze oszacowanie):

 

Koniec dowodu

Uwaga. Twierdzenie zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej   a nie tylko dla całkowitych.

Postulat Bertranda – Twierdzenie CzebyszewaEdytuj

Osobny artykuł: Postulat Bertranda.

Czebyszew udowodnił następujące twierdzenie (patrz[2] – rozdział 9[3], – rozdział 6.9):

Twierdzenie

Dla dowolnej liczby naturalnej   większej od 1, między liczbami   a   istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza.

Dowód

Wyżej zdefiniowaliśmy   i odnotowaliśmy następujące trzy twierdzenia:

  • Jeżeli   to   albo krótko:  
  • Jeżeli   jest liczbą naturalną, oraz   – liczbą pierwszą z przedziału   to   nie jest dzielnikiem współczynnika  
  •   dla każdego rzeczywistego  

Zdefiniujmy:

 

Twierdzenia dowiedziemy pokazując, że  

Otóż   gdzie:

 
 

Dla   liczba liczb pierwszych nie większych od   jest mniejsza od   Zatem gdy     ma nie więcej, niż   czynników, z których każdy jest ograniczony od góry przez   Zatem:

 

oraz

 

Z drugiej strony   jest największym z   składników sumy Newtona przedstawiającej   przy czym dwa składniki równe są 1, więc:

 

Przy tym nierówność jest ostra dla   a co dopiero dla   Dla takich   nierówność   po obustronnym pomnożeniu przez   wyniknie z

 

czyli

 

czyli, po zlogarytmowaniu:

 

Z tego, że dla   zachodzi   otrzymujemy dla   że:

 

Wystarczy zatem dowieść

 

czyli

 

Ponieważ   to wystarczy dowieść, że:

 

co dla   jest równoważne z:

 

Nierówność ta zachodzi dla każdego   Więc twierdzenie zachodzi dla każdego   Dla   twierdzenie zachodzi, gdyż kolejne liczby pierwsze w następującym ciągu są mniejsze od podwojonego poprzednika:

 

Koniec dowodu.

Dla dowolnej, nieujemnej liczby całkowitej   bez większego trudu można by dowieść nierówności:

 

lub słabszej

 

dla wszystkich   gdzie stała C zależałaby od   Nierówność ta zapewniłaby   liczb pierwszych pomiędzy   i   dla wszystkich, dostatecznie dużych   (dla  ).

Metoda CzebyszewaEdytuj

Czebyszew wprowadził iloczyny odcinków kolejnych liczb naturalnych, i ich kombinacje iloczynowo-ilorazowe. Z jednej strony takie iloczyny dają się dokładnie szacować, a z drugiej, dobierając starannie ich kombinacje, uzyskuje się iloczyny w których gęsto jest od kolejnych liczb pierwszych w potędze 1.

Metodę Czebyszewa uprościł Srinivasa Ramanujan (patrz: Lew Sznirelman[2]), który skupił się na środkowym współczynniku dwumianowym, czyli na   podzielonym dwukrotnie przez   Działa to dobrze w przypadku postulatu Bertranda, ze względu na odcinek pomiędzy daną liczbą naturalną i dwukrotnie większą. Jednak Czebyszew uzyskał mocniejszy wynik, gdyż zamiast proporcji 2 wystarczyła mu dowolnie ustalona powyżej 6/5 (patrz[3]). Udowodnione po Czebyszewie twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych natychmiast daje podobny wynik dla wszelkich proporcji ustalonych powyżej 1.

Wariacja ErdősaEdytuj

Paul Erdős wzmocnił twierdzenie Czebyszewa dowodząc

Twierdzenie

Dla dowolnej liczby naturalnej   między liczbami   a   znajdują się co najmniej dwie liczby pierwsze – co najmniej jedna postaci   oraz co najmniej jedna postaci  

Twierdzenie DirichletaEdytuj

Poniższe twierdzenie zostało udowodnione przez Dirichleta

Twierdzenie

W dowolnym ciągu arytmetycznym liczb naturalnych:         takim, że   i  względnie pierwsze, występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. (Przy ustalonym   ilość liczb pierwszych dla różnych a, względnie pierwszych z liczbą   jest w pewnym asymptotycznym sensie taka sama).

Przypadki szczególneEdytuj

  • Ciąg arytmetyczny   liczb naturalnych  
    Niech   będzie niepustym zbiorem skończonym liczb naszego ciągu. Niech   będzie ich iloczynem. Wtedy   nie może mieć wyłącznie dzielników pierwszych dających resztę   z dzielenia przez   (ich iloczyn dałby resztę  ). Zatem istnieje taki dzielnik pierwszy   że   Dzielnik ten nie należy do   czyli żaden taki zbiór skończony nie zawiera wszystkich liczb pierwszych z naszego ciągu arytmetycznego, a więc takich liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Uwaga. Ciąg arytmetyczny   liczb naturalnych   zawiera powyższy, ale ma tylko jedną więcej liczbę pierwszą, mianowicie  

  • Ciąg arytmetyczny   liczb naturalnych  
    Dowód, że ten ciąg zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych podobny jest do wcześniejszego, powyżej, dla przypadku mod 6. Taki prosty dowód działa tylko dla reszty -1, i tylko mod n: =3 lub 4 lub 6, kiedy to jedynymi resztami mod n, względnie pierwszymi z n, są liczby -1 oraz 1 (mod n).
  • Ciąg arytmetyczny   liczb naturalnych  
    Euler pokazał, że nieparzysty dzielnik pierwszy liczby naturalnej postaci   musi dać resztę 1 z dzielenia przez 4. Niech więc   będzie niepustym zbiorem skończonym liczb naszego ciągu. Niech   będzie ich iloczynem. Wtedy   musi mieć dzielnik pierwszy z naszego ciągu. Ale dzielnik taki nie może należeć do   co oznacza, że zbiór wszystkich liczb pierwszych w naszym ciągu jest nieskończony.

Twierdzenie o liczbach pierwszychEdytuj

Podstawowe twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych wśród liczb naturalnych sformułował Gauss, który na podstawie badań empirycznych zasugerował, że liczba π(n) liczb pierwszych w przedziale   opisana jest zależnością:

 

gdzie symbol Li(n) oznacza resztę logarytmu całkowego, a „~” oznacza równość asymptotyczną rozumianą jako

 

Rozwinięcie logarytmu całkowego w szereg daje oszacowanie:

 

Gauss nie udowodnił tego twierdzenia – dopiero pod koniec XIX wieku zostało ono udowodnione przez Hadamarda i de la Vallee Poussina.

Najprostszą postacią przybliżenia funkcji π jest pierwszy element tego szeregu:

 

W tym wypadku także zachodzi asymptotyczna równość:

 

Hipoteza RiemannaEdytuj

Osobny artykuł: hipoteza Riemanna.

Rozmieszczenie liczb pierwszych na osi jest też związane bezpośrednio z hipotezą Riemanna. Mianowicie, jest ona równoważna stwierdzeniu, że liczba π(n) liczb pierwszych w przedziale   wyraża się wzorem:

 

gdzie użyto notacji dużego O.

Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczychEdytuj

Według tej teorii liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele.

Szczególne rodzaje liczb pierwszychEdytuj

Liczby pierwsze bliźniaczeEdytuj

Liczby pierwsze   i  bliźniacze, jeśli   Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73...

5 jest bliźniacza zarówno z 3, jak i z 7.

Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych liczb pierwszych.

Największa znana para liczb pierwszych bliźniaczych (stan na luty 2019) to   Liczby te, znalezione w 2016 roku, mają 388342 cyfr w zapisie dziesiętnym. [4]

Liczby pierwsze czworaczeEdytuj

Liczby czworacze – liczby pierwsze mające postać         np. 5, 7, 11 i 13 lub 101, 103, 107 i 109, czyli dwie pary liczb bliźniaczych w najbliższym możliwym sąsiedztwie. Największe znane liczby czworacze to:

      oraz  
Liczby te, znalezione w 2019 roku, mają po 10132 cyfry w zapisie dziesiętnym. [4]

Liczby pierwsze izolowaneEdytuj

Liczba pierwsza   jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od   co najmniej o 4. Przykłady: 23, 89, 157, 173.

Liczby pierwsze Mersenne’aEdytuj

Liczbę

 

nazywamy  -tą liczbą Mersenne’a (dla  ). Tak otrzymana funkcja   jest homomorfizmem ze względu na największy wspólny dzielnik NWD:

 

Liczby pierwsze Mersenna są to liczby pierwsze, będące jednocześnie liczbami Mersenne’a. Przykłady: 3, 7, 31, 127, 8191...

Warunkiem koniecznym, żeby liczba Mersenne’a   była pierwsza jest pierwszość liczby   Jednak nie dla każdej liczby pierwszej   liczba   jest pierwsza; na przykład:

 

Dlatego bada się także dzielniki Mersenne’a, a mianowicie dzielniki liczb Mersenne’a   dla   pierwszego, zwłaszcza dzielniki pierwsze.

W sierpniu 2008 roku największą znaną liczbą pierwszą była liczba Mersenne’a   – do jej zapisania w układzie dziesiętnym trzeba użyć 12978189 cyfr. Wygrano w ten sposób 100 tysięcy dolarów ufundowane przez Electronic Frontier Foundation dla odkrywcy liczby pierwszej o co najmniej 10 milionach cyfr[5]. Obecnie największą znaną, 51. liczbą pierwszą Mersenne’a jest   która w zapisie dziesiętnym ma 24 862 048 cyfr. Została ona odkryta 7 grudnia 2018 roku przez Patricka Laroche’a w ramach projektu GIMPS[6].

Największymi znanymi liczbami pierwszymi są na ogół liczby Mersenne’a, gdyż istnieje dla nich efektywna metoda sprawdzenia, czy są pierwszymi, tak zwany test Lucasa-Lehmera.

Liczby złożone Mersenne’aEdytuj

Liczby złożone Mersenne’a to liczby Mersenne’a   które są złożone, gdy liczba   jest pierwsza (gdy   jest złożone, to   jest zawsze złożone).

Stwierdzenie

Niech   oraz   będą liczbami pierwszymi, przy czym 2 jest resztą kwadratową   (tzn.   dla pewnej liczby całkowitej  ). Wtedy   więc liczba Mersenne’a   jest wtedy złożona dla  

Dowód

Przy założeniach twierdzenia, niech   dla pewnej liczby całkowitej   Wtedy na mocy małego twierdzenia Fermata:

 

czyli   Ponieważ dla   zachodzi   to   jest dzielnikiem właściwym, więc   jest złożone dla   (przy pozostałych założeniach).

Koniec dowodu.

Przykłady: 2 jest resztą kwadratową nieparzystej liczby pierwszej   wtedy i tylko wtedy, gdy   daje resztę -1 lub 1 z dzielenia przez 8. Ponadto chcemy, żeby   było liczbą pierwszą. Zatem przykładów   ilustrujących powyższe twierdzenie, należy szukać wyłącznie wśród   dających resztę -1 z dzielenia przez 8, czyli wśród liczb postaci:   Wtedy   Więc   nie powinno dawać reszty 1 z dzielenia przez 3, by uniknąć podzielności   oraz nie powinno dawać reszty -1, by uniknąć   Zatem należy ograniczyć się do   podzielnych przez 3, czyli do

 

Stąd najmniejszym przykładem, ilustrującym powyższe twierdzenie jest   Otrzymujemy podzielność   Następnym jest   czyli podzielność  

Liczby pierwsze FermataEdytuj

Są to liczby pierwsze postaci   Jak dotąd znanych jest pięć liczb Fermata, które są pierwsze: 3, 5, 17, 257 i 65537.

A oto przykładowe faktoryzacje liczb Fermata

 
 

Skoro liczby Fermata nie muszą być pierwsze, to bada się dzielniki Fermata, czyli dzielniki liczb Fermata, zwłaszcza dzielniki pierwsze.

Liczby pierwsze GermainEdytuj

Liczbę pierwszą   nazywamy liczbą pierwszą Sophie Germain jeżeli liczba   również jest pierwsza. Oto kilka liczb tego rodzaju: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83... Liczby pierwsze Germain związane są ze szczególnymi przypadkami wielkiego twierdzenia Fermata. Liczby pierwsze Germain są związane z liczbami złożonymi Mersenne’a.

Liczby pomiędzy pierwszeEdytuj

Liczby będące średnią kolejnych dwóch liczb pierwszych większych od 2 (ang. interprime numbers). Początkowe liczby pomiędzy pierwsze to: 4, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 26, 30, 34,…

Liczby te są liczbami złożonymi, ponieważ analizie poddajemy kolejne liczby pierwsze.

Liczby pseudopierwszeEdytuj

Liczby złożone   które spełniają warunek:

 

Istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych parzystych, jak i nieparzystych. Co więcej, dla każdej liczby pierwszej   istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych podzielnych przez   Liczbami pseudopierwszymi dla danego testu pierwszości nazywamy liczby złożone, których ten test nie rozpoznaje (powyższy przykład to liczby pseudopierwsze dla testu Fermata przy   równym 2).

Liczby lustrzane pierwszeEdytuj

To pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności.
Przykłady: 13 i 31, 17 i 71, 37 i 73, 79 i 97, 107 i 701,...

Liczby palindromiczne pierwszeEdytuj

To liczby pierwsze, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry dziesiętne zapiszemy w odwrotnej kolejności.
Przykłady: 11, 101, 131, 191, 929.

ProblemyEdytuj

Zagadnienia dotyczące liczb pierwszych należą do teorii liczb. Istnieją w niej dotąd nierozstrzygnięte problemy:

  • hipoteza Goldbacha: czy każda liczba parzysta większa od 2 może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb pierwszych?
  • czy ciąg Fibonacciego zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych?
  • czy liczb pierwszych Fermata jest nieskończenie wiele?
  • czy liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele?
  • czy liczb pierwszych Mersenne’a jest nieskończenie wiele?
  • czy liczb pierwszych Germain jest nieskończenie wiele?
  • czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci  ?
  • czy dla dowolnego   pomiędzy liczbami   i   istnieje liczba pierwsza?

Największe znane liczby pierwszeEdytuj

Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 51. (znana) liczba pierwsza Mersenne’a:   i liczy sobie 24 862 048 cyfr w zapisie dziesiętnym.

W grudniu 2018 roku osiem największych znanych liczb pierwszych to liczby pierwsze Mersenne’a[7]. Największą znaną liczbą pierwszą, która nie jest liczbą Mersenne’a, jest:

 

która w zapisie dziesiętnym liczy 9 383 761 cyfr. Liczba ta jest dziewiątą co do wielkości znaną liczbą pierwszą i została odkryta 31 października 2016 roku w ramach projektu PrimeGrid[8].

Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera:

 

znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora.

Odpowiedniki w innych strukturach algebraicznychEdytuj

Najbliższym odpowiednikiem liczb pierwszych w pierścieniachelementy pierwsze. Liczby pierwsze nie są jednak tym samym, co elementy pierwsze pierścienia liczb całkowitych – elementami pierwszymi są także liczby ujemne   a według niektórych źródeł także zero[9], które zostały z definicji wykluczone ze zbioru liczb pierwszych.

W pierścieniach bez jednoznaczności rozkładu pierwszość elementu nie jest równoważna jego nierozkładalności na czynniki (istnieją elementy nierozkładalne, które nie są pierwsze). Również pojęcie ideału pierwszego nawiązuje do tych intuicji.

ZastosowanieEdytuj

Liczby pierwsze są stosowane w niektórych znanych algorytmach kryptograficznych; jednym z nich jest RSA. Rozwój tych algorytmów zapewnia ewolucję projektów wyszukiwania ogromnych liczb pierwszych, takich jak GIMPS.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Zero nie jest liczbą pierwszą, bo ma nieskończoną liczbę dzielników, a nie dokładnie dwa. Jeden nie jest liczbą pierwszą, bo ma tylko jeden dzielnik (siebie), a nie dokładnie dwa. Zero i jeden nie są liczbami złożonymi, bo nie są większe od 1.
  2. a b c Lew G. Sznirelman, Liczby pierwsze, PWN, Warszawa 1954.
  3. a b c William J. LeVeque © 1977, Fundamentals of Number Theory, Dover Publications 1996, ​ISBN 0-486-68906-9​.
  4. a b The Largest Known Primes.
  5. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 274,207,281-1 (ang.). mersenne.org. [dostęp 2016-01-07].
  6. Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime!, www.mersenne.org [dostęp 2018-12-21].
  7. Chris K. Caldwell, The Prime Database: Database Search Output, primes.utm.edu [dostęp 2018-01-05] (ang.).
  8. PrimeGrid official announcement http://www.primegrid.com/download/SOB-31172165.pdf.
  9. Na podstawie definicji w Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, s. 121. ISBN 978-83-7469-189-5. W podręczniku Algebry Białynickiego-Biruli zero jest jednak z definicji elementu pierwszego wykluczone.

BibliografiaEdytuj

Istnieje bardzo wiele książek o teorii liczb i liczbach pierwszych; między innymi:

Linki zewnętrzneEdytuj