Skala betów

Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

OkreślenieEdytuj

Dla każdej liczby kardynalnej   symbol   oznacza moc rodziny wszystkich podzbiorów  

  • Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych   definiuje się ciąg   (jest to klasa właściwa – zob. paradoks Buralego-Fortiego):
(i)   jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,
(ii)  
(iii) jeśli   jest liczbą graniczną, to
 

Ciąg   jest nazywany skalą betów lub hierarchią betów.

Konstrukcję tę można uogólnić. Niech   będzie liczbą kardynalną.

  • Przez indukcję po liczbach porządkowych   zdefiniować można ciąg  
(a)  
(b)  
(c) jeśli   jest liczbą graniczną, to
 

Własności i przykładyEdytuj

  •   dla każdego  
  • Przyjmując aksjomatykę Zermela-Fraenkla, hipoteza continuum (CH) to zdanie stwierdzające, że   a uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi, że  
  •   jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a więc także jest mocą zbioru   wszystkich liczb rzeczywistych.
  •   jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru   a więc także mocą zbioru wszystkich funkcji z   w  
  • Istnieją liczby porządkowe   takie, że   (są to tzw. punkty stałe skali betów). Jeśli   jest liczbą silnie nieosiągalną, to   ale punkty stałe skali betów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu  
  •   ma tę szczególną własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną silnie graniczną liczbą kardynalną: dla każdej liczby kardynalnej   mamy również  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj