Zbiór przechodni

Zbiór przechodni, zbiór tranzytywny – zbiór $A$ o tej własności, że jeżeli $x\in A$ oraz $y\in x,$ to $y\in A.$ Innymi słowy, zbiór przechodni to zbiór o tej własności, że elementy jego elementów są również jego elementami. Powyższa definicja w naturalny sposób przenosi się na klasy właściwe.

Własności

• Zbiór $A$ jest przechodni wtedy i tylko wtedy, gdy

$\bigcup A\subseteq A.$

• W teorii Zermela-Fraenkla (i innych, które nie dopuszczają, by klasy właściwe były elementami zbiorów) zbiór $A$ jest przechodni wtedy i tylko wtedy, gdy

$A\subseteq {\mathcal {P}}(A).$

• Zbiory przechodnie wykorzystywane są do alternatywnej definicji liczb porządkowych: każdy zbiór przechodni i liniowo uporządkowany ze względu na relację $\in$ jest dobrze uporządkowany (por. aksjomat regularności), a zatem porządkowo izomorficzny z pewną liczbą porządkową.
• W ZF przekrój zbioru przechodniego jest zbiorem przechodnim.
• Jeżeli ZFC⁻ ozacza teorię ZFC bez aksjomatu regularności, to istnieje model ZFC⁻, w którym istnieje zbiór przechodni, którego przekrój nie jest zbiorem przechodnim.

Domknięcie przechodnie

Każdy zbiór zawarty jest w pewnym zbiorze przechodnim. Najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór przechodni, w którym zawarty jest zbiór $X,$ nazywa się jego domknięciem przechodnim i oznacza często ${\mbox{tcl}}(X).$ Domknięcie przechodnie można opisać jako:

${\mbox{tcl}}(X)=\bigcup \{X,\bigcup X,\bigcup \bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup X,\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\dots \}.$

Zobacz też

• domknięcie przechodnie relacji
• uniwersum konstruowalne
• zbiór induktywny

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1. Brak numerów stron w książce