Kolaps Mostowskiego

Kolaps Mostowskiego (kolaps przechodni)zbiór przechodni, który wraz z relacją należenia jest izomorficzny z daną ufundowaną relacją ekstensjonalną. Termin kolaps Mostowskiego jest też używany na określenie samego izomorfizmu z wyjściowego zbioru z relacją na zbiór przechodni.

Izomorfizm ten był użyty przez Kurta Gödla w 1937 w niebezpośredniej formie[1]. Samodzielne twierdzenie o istnieniu kolapsów przechodnich było sformułowane i udowodnione przez Andrzeja Stanisława Mostowskiego w 1949[2].

Twierdzenie o kolapsie Mostowskiego jest nazywane także twierdzeniem o ściąganiu[3].

Definicje edytuj

  • Relacja dobrze ufundowana (lub po prostu relacja ufundowana) to relacja   dla której nie istnieje nieskończony  -zstępujący ciąg   czyli taki nieskończony ciąg elementów zbioru   w którym każdy element jest w relacji z następującym bezpośrednio przed nim:
     
  • Powiemy, że relacja dwuczłonowa   na zbiorze   spełnia warunek ekstensjonalności (jest ekstensjonalna) jeśli dla wszystkich   zachodzi implikacja:
jeśli   to  
  • Zbiór   jest przechodni (tranzytywny), jeśli każdy jego element jest jednocześnie jego podzbiorem, czyli gdy spełniony jest warunek
 

Twierdzenie edytuj

Załóżmy, że   jest dwuczłonową relacją ufundowaną na zbiorze   Przypuśćmy również, że relacja ta spełnia warunek ektensjonalności. Wówczas istnieje dokładnie jeden zbiór przechodni   oraz dokładnie jedna bijekcja   takie, że dla wszystkich   mamy:

 

Zbiór   nazywa się kolapsem Mostowskiego relacji  , czasem ten sam zwrot jest używane w odniesieniu do odwzorowania  

Przykłady edytuj

  • Kolaps Mostowskiego zbioru przechodniego jest tym samym zbiorem. Zatem w szczególności, kolaps Mostowskiego liczby porządkowej jest tą samą liczbą.
  • Relacja   naturalnego porządku na zbiorze   parzystych liczb naturalnych jest zarówno ufundowana i ekstensjonalna. Kolaps relacji   to zbiór liczb naturalnych
 
  • W teorii forsingu często używa się kolapsów Mostowskiego w następującej sytuacji. Mamy daną pewną (dużą) regularną liczbą kardynalną   i rozważamy rodzinę   wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż   Przypuśćmy, że   jest przeliczalnym elementarnym podmodelem   (Istnienie takich podmodeli wynika z dolnego twierdzenia Löwenheima-Skolema). Wówczas istnieje (jedyny) przeliczalny tranzytywny zbiór   taki, że model   jest izomorficzny z  

Przypisy edytuj

  1. Kennedy 2015 ↓.
  2. Andrzej Mostowski: An undecidable arithmetical statement, „Fundamenta Mathematicae36 (1949), s. 143–164.
  3. Zobacz np.: Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 14.

Bibliografia edytuj