Kolaps Mostowskiego

Kolaps Mostowskiego (kolaps przechodni) – zbiór przechodni, który wraz z relacją należenia jest izomorficzny z daną ufundowaną relacją ekstensjonalną. Termin kolaps Mostowskiego jest też używany na określenie samego izomorfizmu z wyjściowego zbioru z relacją na zbiór przechodni.

Izomorfizm ten był użyty przez Kurta Gödla w 1937 w niebezpośredniej formie . Samodzielne twierdzenie o istnieniu kolapsów przechodnich było sformułowane i udowodnione przez Andrzeja Stanisława Mostowskiego w 1949.

Twierdzenie o kolapsie Mostowskiego jest nazywane także twierdzeniem o ściąganiu.

Definicje

• Relacja dobrze ufundowana (lub po prostu relacja ufundowana) to relacja $R,$ dla której nie istnieje nieskończony $R$-zstępujący ciąg ${(a_{n})}_{n},$ czyli taki nieskończony ciąg elementów zbioru $X,$ w którym każdy element jest w relacji z następującym bezpośrednio przed nim:

$a_{2}\;R\;a_{1},$ $a_{3}\;R\;a_{2},$ $a_{4}\;R\;a_{3}\ldots$

• Powiemy, że relacja dwuczłonowa $R$ na zbiorze $X$ spełnia warunek ekstensjonalności (jest ekstensjonalna) jeśli dla wszystkich $x,y\in X$ zachodzi implikacja:

jeśli $(\forall z\in X)(z\;R\;x\Leftrightarrow z\;R\;y)$ to $x=y.$

• Zbiór $S$ jest przechodni (tranzytywny), jeśli każdy jego element jest jednocześnie jego podzbiorem, czyli gdy spełniony jest warunek

$(\forall x\in S)(\forall y\in x)(y\in S).$

Twierdzenie

Załóżmy, że $R$ jest dwuczłonową relacją ufundowaną na zbiorze $X.$ Przypuśćmy również, że relacja ta spełnia warunek ektensjonalności. Wówczas istnieje dokładnie jeden zbiór przechodni $S$ oraz dokładnie jedna bijekcja $\pi :X\longrightarrow S$ takie, że dla wszystkich $x,y\in X$ mamy:

$\pi (x)\in \pi (y)\Leftrightarrow x\;R\;y.$

Zbiór $S$ nazywa się kolapsem Mostowskiego relacji $R$, czasem ten sam zwrot jest używane w odniesieniu do odwzorowania $\pi .$

Przykłady

• Kolaps Mostowskiego zbioru przechodniego jest tym samym zbiorem. Zatem w szczególności, kolaps Mostowskiego liczby porządkowej jest tą samą liczbą.
• Relacja $<$ naturalnego porządku na zbiorze $P$ parzystych liczb naturalnych jest zarówno ufundowana i ekstensjonalna. Kolaps relacji $(P,<)$ to zbiór liczb naturalnych

$\omega ={\Big \{}\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\},\dots {\Big \}}.$

• W teorii forsingu często używa się kolapsów Mostowskiego w następującej sytuacji. Mamy daną pewną (dużą) regularną liczbą kardynalną $\chi$ i rozważamy rodzinę ${\mathcal {H}}(\chi )$ wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi .$ Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal {H}}(\chi ),\in ).$ (Istnienie takich podmodeli wynika z dolnego twierdzenia Löwenheima-Skolema). Wówczas istnieje (jedyny) przeliczalny tranzytywny zbiór $M$ taki, że model $(N,\in )$ jest izomorficzny z $(M,\in ).$

Bibliografia

• JulietteJ. Kennedy JulietteJ., Kurt Gödel, Edward N.E.N. Zalta (red.), [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, Winter 2017 Edition, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 11 grudnia 2015, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-01-30] [zarchiwizowane z adresu 2017-12-21]  (ang.).???