Grupa abelowa wolna

Grupa abelowa wolnagrupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną. Grupa abelowa jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa o współczynnikach całkowitych elementów tego zbioru. Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowych, zbiór taki nazywany jest bazą. Z punktu widzenia teorii modułów, grupy abelowe wolne są modułami wolnymi nad pierścieniem liczb całkowitych.

WłasnościEdytuj

  • Grupy abelowe wolne są algebrami wolnymi, a więc w szczególności każde dwie bazy abelowej grupy wolnej są równoliczne. Moc dowolnej bazy grupy abelowej wolnej nazywamy jej rangą.
  • Dla każdej liczby kardynalnej   istnieje grupa abelowa wolna rangi  
  • Niech   będzie grupą abelową wolną oraz   grupą abelową. Jeżeli istnieje epimorfizm   to istnieje podgrupa   grupy   izomorficzna z grupą   taka, że  
  • Każda grupa abelowa   jest obrazem homomorficznym pewnej grupy abelowej wolnej. Ponadto, jeśli grupa   ma zbiór generatorów mocy   to jest ona obrazem homomorficznym grupy abelowej wolnej rangi   Twierdzenie to pociąga wniosek, że każda grupa abelowa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy abelowej wolnej.
  • Podgrupa grupy abelowej wolnej jest wolną grupą abelową.

PrzykładyEdytuj

  • Grupa   liczb całkowitych z dodawaniem. Bazami tej grupy są zbiory  
  • Suma prosta   na mocy indukcji matematycznej przykład ten uogólnia się na skończoną rodzinę grup izomorficznych z  
  • Grupa addytywna pierścienia wielomianów o współczynnikach całkowitych. Bazą tej grupy jest np. zbiór  
  • Zewnętrzna suma prosta dowolnej rodziny grup abelowych wolnych jest grupą abelową wolną.
  • Grupa Baera-Speckera, czyli iloczyn przeliczalnie wielu egzemplarzy   nie jest abelową grupą wolną[1], jednak każda jej przeliczalna podgrupa jest[2].

PrzypisyEdytuj

  1. Reinhold Baer. Dualism in abelian groups. „Bulletin of the American Mathematical Society”, s. 121–124, 1937. 
  2. Ernst Specker. Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen. „Portugaliae Mathematica”, s. 131–140, 1950.