Szereg rozbieżny

Szereg rozbieżnyszereg nieskończony, który nie jest zbieżny, tj. nie istnieje granica ciągu jego sum częściowych.

Jeśli szereg jest zbieżny to kolejne składniki w szeregu muszą zmierzać do zera. Stąd każdy szereg, w którym składniki nie zmierzają do zera, jest rozbieżny. Jednak zbieżność jest warunkiem silniejszym, tj. nie wszystkie szeregi, których składniki zmierzają do zera są zbieżne. Najprostszym przykładem jest szereg harmoniczny

Rozbieżność szeregu harmonicznego udowodnił średniowieczny matematyk Mikołaj z Oresme.

W specjalistycznych kontekstach matematycznych z wybranymi szeregami, w których sumy częściowe nie mają granicy, udaje się z powodzeniem skojarzyć pewne wartości. Metoda sumowania to funkcja częściowa odwzorowująca zbiór ciągów sum częściowych szeregu na wartości. Na przykład sumowanie metodą Cesàro przypisuje do rozbieżnego szeregu Grandiego

wartość Sumowalność w sensie Cesàro jest metodą uśredniającą, to znaczy, że opiera się na średniej arytmetycznej ciągu sum częściowych. Inne metody wykorzystują przedłużenie analityczne powiązanych szeregów. W fizyce szeroko stosowane są różne metody regularyzacji na przykład regularyzacja funkcją dzeta.

Własności metod sumowaniaEdytuj

Metody sumowania zwykle koncentrują się na ciągu sum częściowych szeregu. Podczas gdy ciąg ten nie jest zbieżny, można często zauważyć, że średnia coraz większej liczby początkowych wyrazów tego ciągu jest zbieżna, wobec czego można ją uznać za wynik zamiast nieistniejącej granicy sum częściowych szeregu. Obliczając   rozpatruje się ciąg   gdzie   i   W przypadku szeregów zbieżnych, ciąg   jest zbieżny do   Metodę sumowania można określić jako funkcję odwzorowującą zbiór ciągów sum częściowych na wartości. Jeśli   jest dowolną metodą sumowania przypisującą wartość do zbioru ciągów, można ją mechanicznie przekształcić na metodę sumowania szeregów   która przypisuje te same wartości odpowiednim szeregom. Istnieje pewien zestaw własności, które są pożądane wśród metod sumowania, jeśli oczekuje się, że wartości jakie one zwracają odpowiadają granicy sumy szeregu.

  1. Regularność – metoda sumowania jest regularna jeśli ciąg   jest zbieżny do   oraz   Innymi słowy odpowiadająca metoda sumowania szeregu  
  2. Liniowość  jest liniowe jeśli zachowuje liniowe przekształcenia ciągów, czyli   oraz   dla skalarnego   (rzeczywistego lub zespolonego). Ponieważ składniki   z szeregu   są wyrażeniami liniowymi w ciągu   i odwrotnie, to jest to równoważne, że   jest funkcją liniową na składnikach szeregu.
  3. Stabilność – jeśli   jest ciągiem rozpoczynającym się od   a   jest ciągiem otrzymanym przez pominięcie pierwszego wyrazu i odjęciem go od pozostałych, tj.   to   jest zdefiniowane wtedy i tylko wtedy gdy   jest zdefiniowane, i   Inaczej, gdy   dla wszystkich   to  

Trzecia własność nie jest konieczna i pewne znaczące metody, na przykład sumowanie metodą Borela, jej nie mają.

Ostatni warunek można alternatywnie zastąpić słabszą własnością.

  • Skończona reindeksowalność – jeśli   i   są takimi dwoma ciągami, że istnieje bijekcja   taka, że   i istnieje takie   że   dla wszystkich   to   Innymi słowy,   jest takim samym ciągiem jak   z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby wyrazów w innej kolejności. Jest to warunek słabszy niż stabilność ponieważ dowolna stabilna metoda sumowania ma własność skończonej reindeksowalności, natomiast odwrotnie już tak nie jest.

Pożądaną własnością dla dwóch różnych metod sumowania   i   jest niesprzeczność:   są niesprzeczne jeśli dla dowolnego ciągu   przypisują tę samą liczbę   tj.   Jeśli obie metody są niesprzeczne, a jedna sumuje więcej szeregów niż druga, to o tej która sumuje więcej szeregów mówi się, że jest silniejsza.

Istnieją także wydajne metody numeryczne sumowania, które nie są ani regularne ani liniowe takie jak przybliżenie Padé lub renormalizacja.

Metody aksjomatyczneEdytuj

Przyjmując regularność, liniowość i stabilność jako aksjomaty, jest możliwe sumowanie wielu rozbieżnych szeregów, stosując podstawowe przekształcenia algebraiczne. Na przykład szeregi geometryczne  

 

skąd

 

może być obliczone bez względu na zbieżność. Bardziej rygorystycznie, każda metoda sumowania mająca te własności i przypisująca skończoną wartość szeregom geometrycznym musi przypisać tę wartość. Jednak, kiedy   jest liczbą rzeczywistą większą niż 1, to ciąg sum częściowych rośnie nieograniczenie i metody uśredniające przypisują w granicy wartość  

BibliografiaEdytuj