Szereg harmoniczny

szereg, którego kolejnymi wyrazami są odwrotności liczb naturalnych bez zera
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: artykuł dotyczący muzyki.

Szereg harmonicznyszereg liczbowy postaci:

[1]

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

nazywają się liczbami harmonicznymi.

Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących[1]:

Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Rozbieżność szeregu harmonicznegoEdytuj

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności

 

Dowód Mikołaja z OresmeEdytuj

Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.

 

Ponieważ

 
 
 

i ogólnie

 

więc

 

Oznacza to, że ciąg sum częściowych   jest rozbieżny do  [2].

Dowód Pietra MengolegoEdytuj

W 1650 w pracy Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli[3].

Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:

 

Ponieważ

 
 
 

i ogólnie

 

więc

 

co w efekcie daje

 

Oznacza to, że ciąg sum częściowych   nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.

Dowód BradleyaEdytuj

Bradley podał w roku 2000[4] następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.

Dla dowolnej liczby   spełniona jest nierówność

 

a stąd

 

Ciąg sum częściowych można więc oszacować:

 

Ponieważ

 

zachodzi

 

Ciąg liczb harmonicznychEdytuj

Ciąg liczb harmonicznych   jest rozbieżny do   ale rośnie powoli a jest wzrost można opisać zależnością:

 

gdzie   = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby   jest dane wzorem

 

Niektóre uogólnieniaEdytuj

Uogólniony szereg harmoniczny postaci

 

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach  

Euler udowodnił rozbieżność szeregu

 

gdzie   jest  -tą liczbą pierwszą.

Szeregi harmoniczne wyższych rzędówEdytuj

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:

 [1]

Szereg ten jest zbieżny dla  [5] i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by   przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie   dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta   Riemanna:

 

Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.

Ponadto, szereg naprzemienny

 

jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.

Natomiast szereg:

 

gdzie   to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe   co jest szeregiem zbieżnym.

PrzypisyEdytuj

  1. a b c Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 277, ISBN 83-02-02551-8.
  2. Fichtenholz 1966 ↓, s. 226.
  3. Krzysztof Maślanka, Pietro Mengoli i szeregi liczbowe, „Kwartalnik Historii Nauki i Techniki”, 49 (1), 2004, s. 47–64 [dostęp 2019-02-08] (pol.).
  4. D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, „American Mathematical Monthly”, 107 (2000), 651.
  5. Fichtenholz 1966 ↓, s. 227.

BibliografiaEdytuj