Liczby harmoniczne

Liczby harmonicznesumy odwrotności początkowych liczb naturalnych:

Liczby harmoniczne z (linia czerwona) z jej asymptotyczną granicą (linia niebieska)

jest więc -krotną odwrotnością średniej harmonicznej tych liczb naturalnych.

Liczby harmoniczne były badane w starożytności i pełnią ważną rolę w wielu działach teorii liczb. Potocznie nazywane są szeregiem harmonicznym, są blisko związane z funkcją ζ Riemanna, a także pojawiają się w różnych wyrażeniach licznych funkcji specjalnych.

Dla dowolnego rzeczywistego istnieje takie naturalne dla którego Wynika to bezpośrednio z rozbieżności szeregu harmonicznego.

ObliczanieEdytuj

Leonhard Euler podał następujący wzór[1]:

 

Powyższa równość jest oczywista dzięki przekształceniom algebraicznym poniższej tożsamości:

 

ZastosowanieEdytuj

Liczby harmoniczne pojawiają się w wielu wzorach obliczeniowych, jak na przykład funkcja digamma:

 

gdzie   to stała Eulera. Związek ten jest często stosowany do zdefiniowania przedłużenia liczb harmonicznych poza liczby naturalne  

W 2002 roku Jeffrey Lagarias udowodnił, że hipoteza Riemanna może być zastąpiona równoważnym wyrażeniem, że

 

jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej   z ostrą nierównością jeśli     oznacza sumę dzielników liczby  [2].

UogólnienieEdytuj

Uogólnione liczby harmoniczne rzędu   z   są zdefiniowane jako[3]

 

Należy zauważyć, że jeśli   to istnieje granica przy   zmierzającym do nieskończoności.

Inne stosowane zapisy to

 

Przypadek dla wartości   jest przypadkiem specjalnym, który nazywa się liczbą harmoniczną, a indeks   jest w zapisie pomijany[3].

PrzypisyEdytuj

  1. Ed Sandifer, How Euler Did It. Estimating the Basel Problem, grudzień 2003 [dostęp 2012-11-20] [zarchiwizowane 2005-05-13] (ang.).
  2. Jeffrey C. Lagarias: An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis (ang.). 2002. [dostęp 2012-11-20].
  3. a b Marcin Szweda, Kongruencje na liczbach harmonicznych i ich uogólnienia, [w:] Oblicze 2016, Poznań: Koło Naukowe Matematyków UAM, wrzesień 2016, s. 201, ISBN 978-83-946301-0-2 [dostęp 2019-02-09] (pol.).

Linki zewnętrzneEdytuj