Liczba doskonała

Liczba doskonałaliczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). Korzystając z pojęcia funkcji σ, można liczby doskonałe definiować jako te, dla których zachodzi warunek:

Najmniejszą liczbą doskonałą jest , ponieważ Następną jest ponieważ

Kolejnymi są i

Największą znaną obecnie (7 grudnia 2018) liczbą doskonałą jest liczy ona 24 862 048 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym[1].

Wszystkie znane liczby doskonałe są parzyste. Nie udało się dotąd znaleźć żadnej liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją.

Metoda Euklidesa znajdowania liczb doskonałychEdytuj

W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych:

należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki   Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Sposób podany przez Euklidesa każe badać kolejno sumy:

 

Są to sumy ciągu geometrycznego o ilorazie   więc mają one postać   Jeśli któraś z tych liczb   okaże się liczbą pierwszą, to   jest liczbą doskonałą.

WłasnościEdytuj

Leonhard Euler udowodnił, że każda liczba doskonała parzysta ma postać   gdzie   jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również   jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne’a.

Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci   gdzie   jest liczbą pierwszą postaci   Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. List of known Mersenne prime numbers – PrimeNet, www.mersenne.org [dostęp 2020-02-19] (ang.).

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj