Liczby towarzyskie

rodzaj liczb naturalnych

Liczby towarzyskie (ang. sociable numbers) – to liczby naturalne, których sumy dzielników właściwych (mniejszych od tej liczby) tworzą cykliczną sekwencję, która rozpoczyna się i kończy tą samą liczbą.

DefinicjaEdytuj

Liczby towarzyskie są uogólnieniem liczb doskonałych i zaprzyjaźnionych. Pierwsze dwie sekwencje, lub łańcuchy towarzyskie, odkrył i nazwał belgijski matematyk Paul Poulet (1887–1946) w 1918[1][2]. W zbiorze liczb towarzyskich, każda liczba jest sumą dzielników właściwych poprzedniej. Aby taka sekwencja była towarzyska, musi być cykliczna i wracać do punktu startowego.

Okresem lub rzędem sekwencji liczb towarzyskich jest liczba występujących w cyklu liczb.

Jeśli okres sekwencji jest równy 1, to liczba jest liczbą towarzyską rzędu 1 lub liczbą doskonałą. Na przykład dzielnikami właściwymi 6 są 1, 2 i 3, których suma wynosi właśnie 6. Para liczb zaprzyjaźnionych jest zbiorem liczb towarzyskich rzędu 2. Nie są znane liczby towarzyskie rzędu 3.

PrzykładyEdytuj

Przykład dla rzędu 4:

Suma dzielników właściwych   ( ):
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860
Suma dzielników właściwych   ( ):
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636
Suma dzielników właściwych   ( ):
1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184
Suma dzielników właściwych   ( ):
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

Lista znanych liczb towarzyskichEdytuj

Poniższa tabela prezentuje wszystkie znane (stan z listopada 2015) liczby towarzyskie według rzędu:

Rząd Liczba sekwencji
1

(Liczba doskonała)

49
2

(Liczby zaprzyjaźnione)

1 007 466 590[3]
4 366
5 1
6 5
8 4
9 1
28 1

Zastanawiająca jest liczna reprezentacja liczb towarzyskich rzędu 4 w porównaniu z innymi rzędami[4].

PrzypisyEdytuj

  1. Poulet 1918 ↓, s. 100–101.
  2. Cohen 1970 ↓, s. 428. Poulet odkrył liczby towarzyskie rzędu 5 i 28. Cohen podał w swojej pracy 9 nowych sekwencji rzędu 4
  3. Sergei Chernykh Lista liczb zaprzyjaźnionych (ang.). [dostęp 2016-06-08].
  4. Cohen 1970 ↓, s. 428.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj