Otwórz menu główne

Ciąg geometryczny (lub postęp geometryczny) – ciąg liczbowy (skończony bądź nieskończony), którego każdy kolejny wyraz od drugiego począwszy jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej nazywanej ilorazem ciągu. Ciąg geometryczny można traktować jako multiplikatywną wersję ciągu arytmetycznego.

Formalnie:

Niech lub
Ciąg liczbowy nazywa się ciągiem geometrycznym, jeśli istnieje stała zwana ilorazem ciągu, dla której zachodzi wzór

dla każdego

Jeśli to powyższy wzór można zapisać w postaci

co tłumaczy nazwę liczby

PrzykładyEdytuj

  • Ciąg   jest ciągiem geometrycznym o ilorazie  
  • Ciąg   jest ciągiem geometrycznym o ilorazie  
  • Ciąg   jest ciągiem geometrycznym o ilorazie  

WłasnościEdytuj

Ponieważ

 

to prawdziwy jest też wzór

 

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego (oraz ostatniego, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich: jeśli   są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego   to prawdziwy jest wzór

 

Ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest dodatni, a iloraz jest

  • równy 0, to ciąg jest stały oraz zbieżny do zera.
  • równy 1, to ciąg jest stały oraz zbieżny do pierwszego wyrazu.
  • równy −1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy).
  • większy od 1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.
  • mniejszy od −1, to moduły wyrazów ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy).
  • większy od 0, mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo – ciąg jest zbieżny do zera.
  • mniejszy od 0, większy od −1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) – ciąg jest zbieżny do zera.

Suma wyrazówEdytuj

Jeśli dany jest ciąg geometryczny   o ilorazie   suma   pierwszych wyrazów ciągu jest dana jako

 

Jeśli ciąg   jest nieskończony, to można rozpatrywać sumę szeregu o wyrazach będących elementami ciągu   – zob. szereg geometryczny.

Zobacz teżEdytuj