Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa

Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa – twierdzenie teorii liczb sformułowanie w 1882 roku przez Ferdinanda Lindemanna, a udowodnione w 1885 roku przez Karla Weierstrassa.

Twierdzenie

Jeżeli $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ są różnymi liczbami algebraicznymi, to liczby $e^{a_{1}},e^{a_{2}},\dots ,e^{a_{n}}$ są liniowo niezależne nad ciałem ${\overline {\mathbb {Q} }}$ liczb algebraicznych.

Zastosowania

Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa pozwala stwierdzić przestępność niektórych liczb.

• Jeżeli $x\neq 0$ jest liczbą algebraiczną, to $e^{x}$ jest liczbą przestępną. Wystarczy w twierdzeniu Lindemanna-Weierstrassa przyjąć $a_{1}=0$ oraz $a_{2}=x.$ W szczególności wynika z tego przestępność liczby e.
• Jeżeli $x\notin \{0,1\}$ jest liczbą algebraiczną, to $\ln {x}$ jest liczbą przestępną. Gdyby $\ln {x}$ było liczbą algebraiczną, to $x=e^{\ln {x}}$ byłoby liczbą przestępną.
• Przyjmując $a_{1}=0$ oraz $a_{2}=\pi i,$ a następnie korzystając z tego, że $e^{\pi i}+1=0,$ dowodzi się, że liczba π jest przestępna.